SInce 20180106

(1) 영공간 계산해서 구하기 지난번에 영공간의 이론적인 의미로 영공간이 하나의 부분공간이라는 걸 증명했다. 간략하게 앞 내용을 정리하면, 영공간은 행렬과 곱했을 때 영벡터가 나오는 모든 벡터의 집합이다. 이번에는 영공간을 구해보겠다. 위와 같이 3x4 행렬 A [1 1 1 1; 1 2 3 4; 4 3 2 1]가 있고, A에 곱해서 영벡터를 만드는 벡터 x가 있다고 하자. 벡터 x는 [x1, x2, x3, x4]이고, R4에 속해있는 벡터이다. 따라서, N(A)는 R4에 속해있으면서, Ax = 영벡터를 성립하는 벡터들의 집합이다. (N은 Null Space의 N을 의미함) Ax = 영벡터 라는 식을 풀어보자. 1 × x1 + 1 × x2 + 1 × x3 + 1 × x4 = 0 1 × x1 + 2 × x2..

(1) 영공간(Null Space)의 정의 영공간에 대해서 정리하기 전에 부분공간에 대한 개념을 복습하고 넘어가자. s는 3가지 조건을 만족시켜야만 부분 공간이라고 할 수 있다. 1) 영벡터는 s의 원소이다. 2) 만약 v1과 v2가 부분공간의 원소라면 v1+v2 또한 부분공간의 원소이다. 즉, 부분공간은 덧셈에 대해 닫혀있다 3) 부분공간은 곱셈에 대해서도 닫혀있다. 실수 스칼라c를 부분공간의 원소 v1에 곱한다면 그 값도 부분공간의 원소가 된다. 그렇다면, m × n인 행렬 A가 있고, 벡터 x를 곱했을 때 영벡터가 되는 동차방정식을 세워보자. 행렬 A가 n개의 열을 가지고 있으므로, x는 n개의 성분을 가지는 Rⁿ의 원소이다. 행렬 A와 벡터 x의 곱이 영벡터를 만족하는, Rⁿ의 원소인 모든 벡터 ..

(1) 행렬 벡터와 벡터의 곱 m x n의 행렬이 있을 때, m은 행(row)의 개수이고 n은 열(column)의 개수가 될 것이다. m x n의 행렬 A(볼드체 대문자)가 있다고 해보자. A를 써보면, a11 ~ amn까지 m*n개의 성분이 있는 행렬이 될 것이다. 이러한 행렬에 어떤 벡터 x를 서로 곱한다는 것이 무엇을 의미하는지 알아보자. 벡터의 곱셈은 행렬 A에 곱하려는 벡터 x의 항목이 A의 열의 개수만큼 존재할 때만 가능하다. 그러니까 x는 다음과 같을 것이다. x = [x1; x2; ... ; xn] 벡터 x의 길이는 m과는 달라도 상관이 없지만, n개의 길이를 가져야만 한다. (n x 1) A와 x를 곱한 값을 써보면, [ a11×x1+a12×x2+...+a1n×xn a21×x1+a22×x..

(1) 기약행사다리꼴 행렬을 활용하여, 연립방정식의 해가 없음 위와 같이 네 개의 변수로 이뤄진 세 개의 선형방정식들이 있다. 앞에 글에서처럼 변수보다 식의 수가 적기 때문에, 답을 못 풀 가능성이 높다. 혹은 무수히 많은 해를 갖거나, 아예 해가 없을 수 도 있다. 위의 식을 확대행렬로 만들어보자. [ 1 2 1 1 | 8 ] [ 1 2 2 1 | 12] [ 2 4 0 6 | 4] 가 된다. 여기서 선두계수가 1이 되도록 하기 위해서 첫 행은 그대로 두고, 두번째 행에서 첫번 째 행을 뺀 것으로 두번째 행을 대체하고, 세번째 행에서 첫번째 행에 2를 곱한 것을 뺀 값으로 세번째 행을 대체하자. [ 1 2 1 1 | 8 ] [ 0 0 1 -2 | 4] [ 0 0 -2 4 | 12] 가 된다. 이 행렬을 ..

(1) 행 사다리꼴 행렬을 활용하여, 변수가 4개인 3차연립방정식 풀기 4개의 미지수가 있는 3차연립방정식이 위와 같이 있다. 미지수는 4개지만 식이 3개밖에 없기 때문에, 해가 무수히 많게 될 것이다. 4차원 공간에서 위와 같은 상황이라면, 해는 3차원 평면으로 제한될 수 있다. 만약 3차원 공간에서 위와 같은 상황이면, 해는 2차원 선으로 제한될 것이다. 이 글에서는 위의 과정을 행렬을 활용하여 푸는 과정을 설명하고자 한다. 위의 식을 계수행렬로 만들면, 선형방정식 좌변에 있는 계수들과 해로 나타내면 된다.(노란색 계수행렬) 연립방정식의 해를 구하기 위해 기약행사다리꼴 행렬을 만들어보도록 하겠다. 기약행사다리꼴 행렬(Reduced Row Echelon form, rref)이란 1. 각 행의 선두 성분..

(1) 평면 사이의 거리 만약 평면 Ax-2y+z=d와 다음 직선들을 포함하는 평면 사이의 거리가 √ 6이라면 d는 무엇일까요? 라는 문제를 풀어보면서 평면과 평면 사이의 거리를 구하는 방법을 생각해보겠다. 평면 사이의 거리는 두 평면이 평행해야 구할 수 있다. 왜냐하면, 만약 그들이 평행하지 않다면 만나게 되기 때문에 거리는 0이 되기 때문이다. 거리가 √6으로 주어졌기 때문에, 두 평면은 만나지 않고 평행한다는 걸 알 수 있다. 그림을 그려보면, 위와 같이 평면 ax - 2y + z = d와 또다른 평행한 평면을 나타낼 수 있다. 한 평면은 직선 2개로 생성할 수 있기 때문에, 두 직선을 초록색과 노란색으로 그려보겠다. 이제 어떻게 거리를 구할 수 있을까? 두 평면은 평행하기 때문에 기울기가 같고 d..

(1) 평면 상에 있지 않은 점과 평면 사이의 거리 이전에는 평면상에 존재하는 점 혹은 법선벡터와 평면의 관계에 대해서 알아봤다. 이번에는 평면상에 있지 않은 점과 평면의 관계에 대해서 알아보겠다. 저번의 그림에서 이어지기 때문에, 그대로 활용하였다. 평면상에 존재하지 않는 점 (x0, y0, z0)가 있다. 위치벡터로 표현하면 x0i+y0j+z0k 의 식을 가지게 된다. 이 점과 평면 사이의 거리를 구해보도록 하자. 일반적으로 거리를 구한다고 할 때는 보통 최단거리를 의미하는 것이다. 평면에 수직할 때 최단거리를 구할 수 있다. 평면상에 존재하는 점 (xp, yp, zp)와 (x0, y0, z0) 사이의 벡터를 만들어보자. 평면상에서 시작하여 그 꼬리는 평면에 있고 평면 밖으로 벗어나는 주황색 벡터 f..

(1) 평면 방정식(Equation of a plane)과 법선벡터(Normal vector) 이번 내용에서는 면에 관한 방정식이 주어졌을 때 법선벡터를 구하는 방법이다. 일단, 3차원 공간에 한 면이 있다고 가정하자. 이 면은 한정된 면이 아니라 모든 방향으로 계속해서 진행하는 면이다. 이 면에 대한 법선벡터(자홍색) n은 ai+bj+ck라는 식으로 표현될 수 있다. 이 법선벡터는 면 위에 존재하는 다른 벡터들과도 수직할 것이다. 면에 어떠한 점 (xp, yp, zp)가 있다고 해보자. 그렇다면 이 점에 대한 위치벡터 P1은 xpi+ypj+zpk로 표현될 것이다. 면 상의 임의의 다른 점을 (x, y, z)라 해보자. 이 점에 대한 위치벡터 P는 xi+yj+zk 로 표현할 수 있다. 이렇게 두 점과 벡..

(1) 벡터의 삼중곱(Triple product) 결말부터 말하면, A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B) 라는 식이 성립한다. (BAC CAB여서 백켑이라고도 함) 외적에서는 결합법칙이 성립하지 않기 때문에 A×(B×C) != (A×B)×C 이다. 이 식이 성립하는 과정을 아래에서 직접 계산하여 증명해보도록 하겠다. 삼중곱을 간단히하면, 내적된 값으로 다른 벡터를 상수배하여 합과 차를 한 식이 된다. 이게 무슨 말인지는 아래의 수식을 따라가면 이해할 수 있다. 벡터 a는 (a의 x성분에 단위벡터 i를 곱한 것)과( a의 y성분에 단위벡터 j와 곱한 것)과 (a의 z성분에 단위벡터 k를 곱한 것)을 다 더한 것이라고 할 수 있다. b와 c에 대해서도 똑같이 적용할 수 있다. b와 c의 외적을 계산하기 위..

(1) 내적의 직관적 이해 지난 내용들에서 0이 아닌 벡터 a, b의 내적이 ||a||||b||cosθ와 같다고 했다. a와 b를 노란색 화살표로 그려보고, 그 사잇각을 θ라 해보자. aㆍb = ||a||||b|| cosθ 이므로, 양변을 ||a||||b||로 나눠주고, 아크코사인을 취한다면, θ=arccos(aㆍb / ||a||||b||)이 된다. 만약 임의의 두 벡터가 주어진다면, 몇차원이든지 위 식을 계산하면 두 벡터간의 사잇각 θ을 구할 수 있다. 그리고 3차원 공간에서 두 벡터의 외적 식에서 ||a×b|| = ||a||||b||sinθ 를 알고 있다. 위의 두 식을 활용해서, 내적과 외적을 직관적으로 이해해보는게 이 글의 목표이다. 벡터 a와 b를 초록색으로 그려보자. 이 때, ||a|| ||b..