SInce 20180106

(1) 기저변환행렬의 가역성 이전 글과 같이 B = {v1, v2, ..., vk} 인 기저벡터 집합이라고 하자. 그리고 n x k의 기저변환행렬 C가 있다. 벡터 a를 B에 대하여 나타내면, 기저변환행렬의 곱 형태로 나타낼 수 있었다. C [a]B = a 기저변환행렬 C에 역행렬이 존재한다고 가정해보자. 그러면, C는 정사각행렬로 k = n인 n개의 n차원 기저벡터의 형태로 표현할 수 있게 된다. 그리고, 선형독립이게 된다. (열벡터가 부분공간의 기저를 이루기 때문이다) 만약 C가 가역적일 때, B의 생성(span)을 구해보면 Rn이 된다. (역행렬이 존재한다면 기저벡터의 선형결합을 이용하여 Rn의 어떤 벡터라도 만들 수 있기 때문) 반대로 만약 B의 생성이 Rn일 때, C는 가역적이라는 것도 성립한다..

(1) 역변환은 선형변환일까? 변환 T가 있고, 가역적인 변환 T는 Rn -> Rn으로 사상한다. 그리고, T의 변환 행렬을 기약행사다리꼴행렬로 나타내면 n x n 단위행렬이 된다고 했다. 그러면, T의 역변환 T-1과 T의 합성함수가 In이고, T와 T-1의 합성함수가 In이다. 이러한 사실들을 알고 있는 상태에서, T-1이 선형변환인지 알아보고자 한다. 선형변환이 되기 위해서는, 덧셈에 닫혀있고 스칼라곱에 대해서 닫혀있다는 사실을 보이면 된다. T(x+y) = T(x) + T(y) T(cx) = cT(x) 를 역변환에서도 적용되는지 알아보자. (2) 역변환이 선형변환이라는 조건 증명. T∘T-1 = In T∘T-1(a+b) = a+b T∘T-1(a+b) = T∘T-1(a) + T∘T-1(b) T(T-..

(1) Ax = b에서 가능한 b의 집합 이번 글에서는 Ax = b에서 x의 해가 존재하도록 하는 b들의 집합을 구해보고, 해가 존재할 때 x가 어떤 형태의 집합인지 알아보는 것이 목적이다. (맨 밑 문단의 결론을 먼저 읽고 와서, 흐름을 따라가면 더 잘 이해가 될 수도?) R2에서 R2로 사상하는 선형변환 T가 있고, T = Ax 의 형태에서 A = [1 -3; -1 3]이라고 가정하자. [1 -3; -1 3] [x1, x2] = [b1, b2] 라고 해보면, 기약행사다리꼴 행렬의 형태로 나타낼 수 있다. rref = [1 -3 | b1 0 0 | b1 + b2] 전 글에서 말했듯이, 우항의 모든 값이 0인 행에서 좌항이 0이라면 해가 무수히 많고, 0이 아니라면 해가 존재하지 않는다고 했다. (전사함..

(1) 변환은 전사함수라는 것의 의미 변환 T가 Rn과 Rm을 대응한다고 할 때, 이 선형변환은 T(x) = Ax와 같은 행렬곱으로 나타낼 수 있다. 앞에서 변환이 가역성을 가지려면 두 가지 조건을 성립해야한다고 했다. 1) T는 전사함수이어야 한다. 2) T는 단사함수이어야 한다. 여기서는 T가 전사함수라는 것이 무슨 의미인지 알아보고자 한다. 이 글에서는 가역성을 정의하거나, 2번 조건을 다루지는 않을 것이다. 전사함수라는 것은 Rm의 모든 원소 b에 대해서 Ax = b인 최소 한 개의 해가 존재한다는 것이다. (x는 Rn의 원소) 여기서 A는 n개의 열벡터로 표현할 수 있고, (A = [a1, a2, ..., an] Ax = x1a1 + x2a2 + ... + xnan으로 표현할 수 있다. (A의 ..

(1) 가역성과 단사함수 / 전사함수의 관계 앞에서 가역성이 무엇을 의미하는지 알아봤다. 가역성이란 역함수라고 하는 다른 함수가 존재한다는 의미이며, 역함수와 원래 함수를 합성하면 항등함수가 된다. 즉, 공역의 모든 y에 대해 f(x) = y를 만족하는 유일한 해 x가 존재하는 경우에 가역성이 존재한다고 할 수 있다. 이 개념을 전사함수와 단사함수에 적용해보자. 유일한 해 x를 갖는다는 것은 y와 x가 일대일 대응이라는 것이며, 단사함수라는 뜻이다. 단사함수란 y값을 갖는 f(x)를 만족하는 x가 하나뿐이기 때문이다. 모든 y가 f(x)에 의해 사상된다는 것은 공역의 모든 원소가 치역이라는 의미이고, 이는 전사함수라는 뜻이다. 전사함수란 공역과 치역이 일치하는 함수이기 때문이다. 결론적으로, 가역성이 있..