10-5. Ax = b에서 가능한 x의 해집합

(1) Ax = b에서 가능한 b의 집합

이번 글에서는 Ax = b에서 x의 해가 존재하도록 하는 b들의 집합을 구해보고, 해가 존재할 때 x가 어떤 형태의 집합인지 알아보는 것이 목적이다.

 

(맨 밑 문단의 결론을 먼저 읽고 와서, 흐름을 따라가면 더 잘 이해가 될 수도?)

 

R2에서 R2로 사상하는 선형변환 T가 있고, T = Ax 의 형태에서 A = [1 -3; -1 3]이라고 가정하자.

 

[1 -3; -1 3] [x1, x2] = [b1, b2] 라고 해보면, 기약행사다리꼴 행렬의 형태로 나타낼 수 있다.

 

rref 

= [1 -3 | b1

     0  0 | b1 + b2]

 

전 글에서 말했듯이, 우항의 모든 값이 0인 행에서 좌항이 0이라면 해가 무수히 많고, 0이 아니라면 해가 존재하지 않는다고 했다.

 

(전사함수가 되기 위해서는 0으로 이뤄진 행이 있어서는 안된다. 이번에 예시로 든 Ax는 0으로 이뤄진 행이 있기 때문에, 전사함수는 아니다.)

 

 

따라서, b1+b2 = 0 을 만족해야만 Ax의 해가 존재한다. 

 

b1 + b2 = 0을 좌표상에 그려보면 위와 같이 그려볼 수 있다.

 

노란색 직선 상에 존재하는 b들이 해를 갖는다.

 

 

 

(2) Ax = b에서 가능한 x의 해집합.

 

 

그러면 b1 + b2 = 0이라고 가정하고, x의 가능한 집합을 구해보자.

 

rref에서 [1 -3 | b1] 을 풀어보면, x1 - 3x2 = b1 이고 x1= 3x2 + b가 성립한다.

 

이를 열행렬의 형태로 표현하면,

 

[x1; x2] = [b1; 0] + x2[3; 1] 이다.

 

따라서, Ax = b의 해가 존재하도록 하는 b에서 x의 해집합은 [x1; x2] = [b1; 0] + x2[3; 1]을 만족하는 x라고 할 수 있다.

 

 

 

위에서 얻은 식들을 시각화해서 나타내보자.

 

일단 우측의 좌표는 x의 해가 존재하도록 하는 b의 집합이다.

 

b2 = -b1을 만족하는 b값들을 예로 들어보자. (그래야만 x의 해가 존재함)

 

 

1) Ax = [5, -5]라면 [x1, x2] = [5, 0] + x2[3 1]이다.

 

x1 = 5 + 3x2 이기 때문에, 이를 좌측 좌표에 그려보면 연두색과 같은 직선이 나온다.

 

연두색 직선 상의 [x1, x2]들이 b = [5, -5]로 사상하는 해들이라고 할 수 있다.

 

 

2) Ax = [-5, 5]라면 [x1, x2] = [-5, 0] + x2[3 1] 이다.

 

x1 = -5 + 3x2 이기 때문에, 이를 좌측 좌표에 그려보면 파란색과 같은 직선이 나온다.

 

 

3) Ax = [0, 0]이라면 [x1, x2] = [0, 0] + x2[3 1] 이다.

 

x1 = 3x2이기 때문에, 이를 좌측 좌표에 그려보면 연보라색과 같은 직선이 나온다.

 

이 때의 해집합은 Ax = 0의 해집합이기 때문에,영공간이라고 할 수 있다.

 

따라서, N(A) = x2[3 1] 이라고 할 수 있다.

 

 

위의 세 직선을 보면, N(A)를 평행이동한 것이라는 점을 눈치챌 수 있다!

 

결론적으로, Ax = b의 해가 존재한다면, x의 해집합은 Xp + N(A)와 같이 나타낼 수 있다. (그림에 합집합이라고 쓴 건 잘못씀)

 

 

 

이렇게 Ax = b가 해를 지닌다고 할 때, 해집합은 어떤 벡터 하나와 A의 영공간의 결합으로 나타낼 수 있다.

 

이를 갑자기 알아본 이유는 ch10에서 가역성에 대해서 다루고 있기 때문이다.

 

가역성을 지니기 위해서는 단사하면서 전사해야 하는데, 단사하기 위해서는 특정 벡터에 사상하는 해가 최대 1개이어야 한다. (아예 없어도 된다.)

 

최대 1개의 해를 갖기 위해서는 영공간에 영벡터를 제외하고는 아무 것도 없으면 된다는 것이다.

 

(위 문장이 이해안된다면, x의 해집합은 Xp + N(A)라는 사실을 다시 떠올려보자. N(A) = 0이면 해집합에 벡터 Xp만이 존재한다!)

 

즉, N(A)를 알아보면 가역성의 조건 중에서 단사하는지를 알 수 있다는 것을 알 수 있다는 말과 같다.

 

다음 글에서 더 자세히 알아보자.