10-4. 변환은 전사함수라는 것의 의미

(1) 변환은 전사함수라는 것의 의미

 

변환 T가 Rn과 Rm을 대응한다고 할 때, 이 선형변환은 T(x) = Ax와 같은 행렬곱으로 나타낼 수 있다.

 

앞에서 변환이 가역성을 가지려면 두 가지 조건을 성립해야한다고 했다.

 

1) T는 전사함수이어야 한다.

 

2) T는 단사함수이어야 한다.

 

여기서는 T가 전사함수라는 것이 무슨 의미인지 알아보고자 한다. 

 

이 글에서는 가역성을 정의하거나, 2번 조건을 다루지는 않을 것이다.

 

전사함수라는 것은 Rm의 모든 원소 b에 대해서 Ax = b인 최소 한 개의 해가 존재한다는 것이다. (x는 Rn의 원소)

 

 

 

 

여기서 A는 n개의 열벡터로 표현할 수 있고, (A = [a1, a2, ..., an]

 

Ax = x1a1 + x2a2 + ... + xnan으로 표현할 수 있다. (A의 열벡터의 일차결합)

 

 

변환 T가 전사함수인 경우, b는 Rm의 모든 원소가 될 수 있고,

 

b = x1a1 + x2a2 + ... + xnan 이기 때문에, x1a1 + x2a2 + ... + xnan는 모든 값이 될 수 있다.

 

이를 수식으로 표현하면, span(a1, a2, ..., an) = Rm 이고, C(A) = Rm이다.

 

왜냐하면, x1, x2, ..., xn은 임의의 실수이기 때문에 열벡터의 가중치 역할만을 하고, (a1, a2, ..., an)의 생성이 Rm이어야하기 때문이다.

 

(a1, a2, ..., an)의 생성 = 열벡터의 공간과 같기 때문에 C(A)라고 표현해줘도 무관하다.

 

Ax = b의 해를 구하기 위해서, 첨가행렬 [A | b]로 표현하고, 이를 기약행사다리꼴 행렬(R)로 표현하면 [R | c]로 나타낼 수 있다.

 

[R | c]에서 나올 수 있는 해의 경우의 수는 3개이다.

 

1) 해가 무수히 많다.

 

2) 해가 1개

 

3) 해가 없다.

 

해가 없는 경우는 R의 마지막 행의 좌측이 모두 0이고, 해가 0이 아닌 경우이다.

 

해가 없다는 뜻은 Ax로 b를 만들 수 없다는 뜻이므로 전사함수가 아닌 것과 동일하다.

 

즉, 해가 없으면 안된다.

 

 

해가 무수히 많은 경우에는 R의 마지막 행의 좌측이 모두 0이고, 우측도 0인 경우이다.

 

이 때, 우측은 2b1 + 3b2 - b3와 같이 b의 원소들의 결합형태로 나타날 것이다. (임의로 막 지어낸 값이므로 식은 바뀔 수 있다.)

 

그런데 이 뜻은 b의 원소들의 결합형태로 나타나는 식의 값이 0이라는 의미이고, 특정 b 값들로만 0을 만들 수 있다는 의미가 된다.

 

특정 b들만 성립한다는 의미는 b들로 Rm을 생성할 수 없다는 의미와 같다.

 

따라서, 전사함수가 아니게 된다.

 

즉, 해가 무수히 많아도 안된다.

 

결론적으로 변환 T가 전사함수라는 것은 C(A) = Rm이라는 것이고,

 

이는 rref(A)의 해가 1개이며, 모든 행이 피벗 성분이라는 것이다.

 

모든 행이 피벗 성분이라는 것은 모든 열이 피벗성분이라는 것과 동일하다.

 

따라서, 계수 Rank(A) = m 이고, C(A)의 차원도 m이다.

 

열공간의 기저 벡터의 개수 역시 m이다.

 

T가 전사함수라는 것은 Rank(A) = m 이라는 것과 필요충분조건이 성립한다.

 

 

실제 예시를 들어서 정리해보자.

 

변환 S는 R2(n=2)를 R3(m=3)로 사상하며, S(x) = Ax = [1 2; 3 4; 5 6]x 이다.

 

A를 rref로 표현해주면 [1 0; 0 1; 0 0]이 된다.

 

이 때, 피벗 성분이 2개밖에 안되기 때문에 Rank(A) = 2이고, C(A) = 2이다.

 

m = 3이기 때문에, 변환 S는 전사함수가 아니고 가역성을 지니지 않는다.