10-2. 전사함수, 단사함수

(1) 전사함수(Surjective, onto)

 

전사함수(surjective, onto)라는 것은 공역에 있는 모든 원소가 치역에 있는 것이다.

 

그래서 수식적으로 표현하면, 공역의 모든 y에 대하여 최소한 하나의 x에 대해서 f(x) = y를 성립한다고 할 수 있다.

 

간단한 예로 X = [1, 2, 3, 4], Y = [A, B, C, D]가 있을 때,

 

f(1) = A

f(2) = B

f(3) = C

f(4) = D

라면, 모든 Y가 사상(mapping)되기 때문에 전사함수라고 할 수 있다.

 

만약, X에 5가 추가되어서 f(5) = D 라고 하더라도, 전사함수는 그대로 성립한다.

 

최소한 1개의 x가 y에 사상되는 것이기 때문에 여러 개의 x가 하나의 y에 대응되더라도 괜찮다.

 

하지만, Y에 E가 추가되었는데, 대응하는 X가 없다면 전사함수가 아니게 된다.

 

이를 수식적으로 표현하면, image(f) = Y 이고 range(f) = Y가 된다.

 

 

 

(2) 단사함수(Injective, one-to-one)

 

단사함수(Injective, one-to-one)는 일대일함수라고 부르기도 한다.

 

Y의 임의의 y에 대해 최대 1개의 x가 f(x) = y를 만족시킨다. 

 

아까의 예를 다시 활용해보자.

 

X = [1, 2, 3, 4], Y = [A, B, C, D]가 있을 때,

 

f(1) = A

f(2) = B

f(3) = C

f(4) = D 

라면, 단사함수이다.

 

하지만, X에 5가 추가되어 f(5) = D라면, 2개의 x가 1개의 y에 대응되기 때문에 단사함수가 아니다.

 

만약 Y에 E가 추가되었으나 어떠한 x도 사상하지 않는다면, 단사함수가 성립한다.

 

공역 = 치역일 필요가 없기 때문에, 모든 y가 x에 대응될 필요는 없기 때문이다.