SInce 20180106

(1) 고유값 결정식 Rn에서 Rn으로 사상하는 변환 T가 있고, T(x) = Ax와 같이 표현할 수 있다. 벡터 v에 대해서 변환을 취하면, Av가 되고, 이 결과는 v에 어떤 계수 λ만큼 곱해진 λv가 된다고 해보자. 이를 만족하는 벡터 v를 고유벡터(eigen vector)라고 하고, 계수를 고유값(eigen value)라고 한다. 고유벡터나 고유값을 구하기 위해서는, Av = λv를 만족하는 해를 구해야 하는데, 이를 어떻게 구할 수 있을까? v가 영벡터이면 된다. v가 영벡터라면 방정식을 확실히 만족하게 되지만, 부분공간을 생성하는 기저벡터의 수가 늘지 않기에 기저에 어떤 것도 추가하지 못하며, 고유값도 어떤 값이든 다 될 수 있다. 따라서, 의미있는 정보를 갖지 못하는 v=0을 제외하고, 영벡..

(1) 변환에서의 행렬식 일반적으로 행렬식은 열벡터가 만들어내는 평행사변형의 넓이와 같다고 했다. 변환에서의 행렬식이 가지는 의미는 무엇일까? 좌상단의 좌표에서처럼 {a, b, c, d}으로 나타낼 수 있는 직사각형이 있다고 해보자. 직사각형의 넓이는 k1*k2라고 할 수 있다. 2x2행렬을 변환하는 T(x) = [a b; c d](x)가 있다고 할 때, 이 직사각형을 변환해보자. 직사각형의 각 꼭지점을 변환하면, T([0, 0]) = [0, 0] T([k1, 0]) = [ak1, ck1] T([k1, k2]) = [ak1+bk2, ck2+dk2] T([0, k2]) = [bk2, dk2] 변환된 직사각형을 좌표 상에 나타내면 좌하단처럼 되게 된다. 이렇게 변환된 직사각형은 원본 직사각형의 image(상..

(1) 행렬식과 평행사변형 행렬 A = [a b; c d]라고 하면, 열벡터 v1 =[a, c], v2 = [b, d]로 표현할 수 있다. 두 열벡터를 좌표 상에 표현하면 우측 그림과 같이 되는데, 만들어지는 평행사변형의 넓이를 구해보자. 증명에 대한 내용은 알고 싶지 않고, 결론만 알고 싶다면 마지막 2줄만 읽으면 된다. 평행사변형의 넓이는 밑변 * 높이로 계산할 수 있고, 수식으로 표현하면 넓이 A = B(밑변) * H(높이) 이다. 이 때, B = ||v1|| 과 같다. 피타고라스 정리에 의해서, H² + ||proj(V2)||² = ||V2||² 이다. 이 때, proj(V2)는 v2가 v1에 투영한 값이다. proj(x) = {(x·v) / (v·v)} v 이기 때문에, (글 8-5 참조) pr..

(1) 행렬을 삼각행렬로 변형하여 행렬식 구하기 12-5에서 삼각행렬의 행렬식은 주대각선의 원소들을 곱해서 구할 수 있다고 했다. 이를 기반으로, 행렬 A와 같이 일반적이 nxn 행렬의 행렬식을 구하는 방법을 정리해보자. 12-4에서 j번째 행을 j번째 행 - i번째 행*c로 바꿔주더라도, 행렬식(A)의 값은 변하지 않는다고 했다. 행렬 A의 각 행들을 더하고 빼도 행렬식의 값은 변하지 않기 때문에, 상삼각행렬으로 변형해주자. | [1 2 2 1; 1 2 4 2; 2 7 5 2; -1 4 -6 3] | = | [1 2 2 1; 0 0 2 1; 0 3 1 0; 0 6 -4 4] | = -| [1 2 2 1; 0 3 1 0; 0 0 2 1; 0 6 -4 4] | (행의 위치를 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다...

(1) 상삼각행렬의 행렬식 삼각행렬(Triangular Matrix)에는 상삼각행렬과 하삼각행렬이 있는데, 그냥 상삼각행렬로 행렬식을 구해보자. 둘 다 결과는 동일하다. 2x2행렬 A = [a b; 0 d]일 때, 행렬식을 구해보면 ad이다. 3x3행렬 B = [a b c; 0 d e; 0 0 f]일 때, 행렬식을 구해보면 adf이다. 뭔가 규칙이 보인다. 대각선에 있는 값들끼리 곱하는 것 같다. nxn행렬로 확대해서 진짜로 맞는지 알아보자. det(A)를 계산해보면, a11[A2~n] = a11*a22[A3~n] 과 같이 계속 분리해나갈 수 있다. 결과적으로는 det(A) = a11*a22*a33*...*ann이 된다. 실제 값으로 계산해보면, det([7 3 4 2; 0 -2 3 6; 0 0 1 7;..

(1) 복합 연산이 이뤄진 행렬의 행렬식 nxn의 행렬 A = [r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]이라고 하고, nxn의 행렬 B = [r1, r2, ..., ri, ..., rj-c*ri, ..., rn]이라고 하자. det(B)의 값은 어떻게 구할 수 있을까? det(B) = det([r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]) + det([r1, r2, ..., ri, ..., -c*ri, ..., rn]) 으로 분리할 수 있다. (12-2글 참고) det([r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]) = det(A) 이고, det([r1, r2, ..., ri, ..., -c*ri, ..., rn]) = -c * det([r1, r..

(1) 같은 값이 있는 행의 행렬식 n x n의 행렬 A가 있다. 이 때 i번째 행을 ri라고 표현한다면, ri = [ai1, ai2, ..., ain] 이 된다. 행렬 A를 행벡터의 형태로 표현해주면, A = [r1, r2, ..., ri, ..., rj, ..., rn]이다. 이 때, ri와 rj의 위치를 바꾼 행렬 Sij가 있다. 그렇다면 det(Sij) = - det(A)가 될 것이다. 행렬식의 부호가 반대로 바뀌는 이유는, 2x2행렬 A = [a b; c d]라고 하고, S = [c d; a b]라고 한다면 det(A) = ad - bc, det(S) = cb - da 와 같이 되기 때문이다. 이는 nxn에서도 똑같이 확장적용이 가능하다. 제목과 같은 본론으로 들어가보자. 만약, ri와 rj가 ..

(1) 행이 더해진 행렬식 이번에는 행렬의 행의 일부가 더해진 형태일 때, 행렬식이 어떻게 변하는지 알아보자 X = [a b; x1 x2], Y = [a b; y1 y2], Z = [a b; x1+y1 x2+y2] 라고 해보자. 이 경우, Z의 두번째 행이 X와 Y의 두번째 행이 더해진 형태이다. 이 때, 더해진 행 외의 다른 행들은 모두 동일해야 한다. det(X) = ax2 - bx1 det(Y) = ay2 - by1 det(Z) =(ax2 - bx1) + (ay2 - by1) det(Z) = det(X) + det(Y)가 된다. *** 행렬이 더해진 경우가 아니다. 행렬의 행이 더해진 형태라는 것이다!! 3x3 행렬에서도 적용되는지 알아보자. 위와 같이 X, Y, Z가 있다. 두번째 행이 [x1, ..

(1) 행렬식 (스칼라 곱) 행렬의 행에 스칼라 곱을 했을 때, 행렬식이 어떻게 변화하는지 알아보자. 행렬 A = [a b; c d]가 있으면, 행렬식 |A| 은 ad - bc 이다. 만약 2번째 행에 k배를 해서 [a b; kc kd]가 된다면, 행렬식은 kad - kbc = k(ad - bc) = k|A|이다. 행렬 자체에 k배를 한다면, kA = [ka kb; kc kd]가 되고, 행렬식은 k²(ad - bc) = k²|A| 이다. 즉, 하나의 행에 스칼라곱을 할 때마다 |A|가 스칼라 곱이 된다. 행렬이 3 x 3이더라도 적용된다. 3 x 3 행렬 A의 행렬식을 |A|라고 한다면, 하나의 행이 k배가 되었다면, 행렬식은 k|A|가 된다. 이를 일반화해보자. n x n인 행렬 A가 있다고 하자. 행..

(1) 사루스의 법칙 행렬식(Determinant)을 쉽게 찾는 방법이 있다. 사루스의 법칙이라고 한다. 위와 같이 3x3행렬이 있고, 위와 같은 식을 쭉 정리해보면 행렬의 판별식을 구해볼 수 있다. det(A) = aei + bfg + cdh - afh - bdc - ceg 를 행렬에서 찾아보면 규칙성을 발견할 수 있다. 더해지는 값들은 좌상단에서 우하단으로 묶이며, 빼지는 값들은 좌하단에서 우상단으로 묶인다. 예시를 들어서 계산해보자. [1 2 4; 2 -1 3; 4 0 -1] 이라는 3x3행렬이 있다면, 1*(-1)*(-1) + 2*3*4 + 4*2*0 - 4*(-1)*4 - 2*2*(-1) - 1*3*0 = 1 + 24 + 0 + 16 + 4 + 0 = 45 이와 같이 구해지게 된다.