12-8. 변환에서 행렬식의 의미

(1) 변환에서의 행렬식

일반적으로 행렬식은 열벡터가 만들어내는 평행사변형의 넓이와 같다고 했다.

 

변환에서의 행렬식이 가지는 의미는 무엇일까?

 

좌상단의 좌표에서처럼 {a, b, c, d}으로 나타낼 수 있는 직사각형이 있다고 해보자.

 

직사각형의 넓이는 k1*k2라고 할 수 있다.

 

2x2행렬을 변환하는 T(x) = [a b; c d](x)가 있다고 할 때, 이 직사각형을 변환해보자.

 

직사각형의 각 꼭지점을 변환하면, 

 

T([0, 0]) = [0, 0]

T([k1, 0]) = [ak1, ck1]

T([k1, k2]) = [ak1+bk2, ck2+dk2]

T([0, k2]) = [bk2, dk2]

 

변환된 직사각형을 좌표 상에 나타내면 좌하단처럼 되게 된다.

 

이렇게 변환된 직사각형은 원본 직사각형의 image(상)이라고 할 수 있다.

 

변환된 직사각형의 넓이는 어떻게 될까?

 

 

변환된 직사각형은 [k1, 0], [0, k2]가 변환된 두 열벡터로 이뤄진 평행사변형이라고 할 수 있다.

 

즉, [ak1, ck1], [bk2, dk2]로 이뤄진 평행사변형이 된다.

 

원본 직사각형은 [k1, 0; 0, k2]였고, 변형된 직사각형은 [ak1, bk2; ck1, dk2]와 같이 표현할 수 있다. (2개의 열벡터의 형태로 표현)

 

[ak1, bk2; ck1, dk2]의 행렬식을 구해보면,

 

|k1*k2*(ad-bc)|

=|k1*k2*det(A)|

 

k1*k2는 원본 직사각형의 넓이였기 때문에, 변환 행렬의 행렬식만큼 넓이가 변화했다는 것으로 볼 수 있다.

 

결론적으로, 변환의 변환인자로써의 행렬식은 원본 도형의 넓이의 계수인자라고 할 수 있다.