13-2. 행렬과 전치행렬의 계수(Rank)

(1) Rank(A) & Rank(At)

앞에서 행렬 A의 계수 = A의 전치행렬의 계수 라고 했는데, 이에 대해서 조금 자세히 보자.

 

Rank(At) = dim( C(At)) 이다.

 

왜냐면, 전치행렬의 열공간의 차원 = 행렬의 행공간의 차원 이기 때문이다.

 

mxn A를 행벡터로 표현하면, m개의 행으로 이뤄진 행렬이고,

 

nxm At를 열벡터로 표현하면, m개의 열로 이뤄진 행렬이다.

 

전치한 행렬이기 때문에, A의 i번째 행과 At의 i번째 열은 같은 값을 가진다.

 

A의 행의 생성 = C(At) = span(r1, r2, ..., rn) 이 된다.

 

A의 기저행을 알기 위해 기약행사다리꼴로 나타내보려면, A의 행들을 가지고 행연산을 해주면 된다.

 

그렇게 구한 기약행사다리꼴 행렬의 피벗 행들은 A행렬의 행공간의 기저이고, At행렬의 열공간의 기저이다.

 

따라서, At의 계수는 rref(A)의 피벗 개수와 같고,

 

Rank(A) = dim(C(A)) 여서, A의 열공간의 기저벡터의 개수와 같다.

 

이번에는 A를 n개의 열벡터로 표현해보자.

 

이를 똑같이 기약행사다리꼴행렬의 형태로 변환해주면, 기저열의 개수를 구할 수 있다.

 

이렇게 구한 A의 열공간 기저벡터의 개수는 At의 행공간의 기저벡터의 개수와 동일할 것이다.

 

따라서, A의 계수는 At의 계수와 동일하다.