14-2. 직교보공간(직교여공간)

(1) 직교보공간(직교여공간)

Rn의 부분공간 V가 있다고 하자.

 

이 부분공간 V의 부분여공간을 V⊥라고 하자. (⊥는 직각이라는 뜻의 perpendicular에서 따온 perp라고 읽는다.)

 

 V⊥를 정의하자면, 부분공간 V의 모든 원소 v에 대해 x∙v = 0을 만족하는 x의 집합이다.

 

근본적으로 말하면, 부분공간의 모든 원소와 직교하는 벡터들이 원소로 있는 집합을 직교여공간이라고 한다.

 

V⊥이 부분공간인지 확인해보자.

 

부분공간이 되기 위해서는 덧셈과 스칼라곱에 닫혀있어야한다.

 

a, b가 V⊥의 원소이고 v가 V의 원소라면, 

 

a∙v = 0 & b∙v = 0 이고, (a+b)∙v =0 (덧셈에 닫혀있다.)

 

ca∙v = c(a∙v) = 0 (스칼라 곱에 닫혀있다)

 

따라서, V⊥는 부분공간이다.

 

이는 V⊥에 부분공간에 관한 성질들을 모두 적용할 수 있다는 뜻이다.

 

mxn 행렬 A가 있다고 가정하자.

 

A의 영공간은 A의 행공간의 직교여공간이라고 할 수 있다. (A의 행공간은 A의 전치행렬의 열공간과 같다)

 

따라서, N(A) = R(A)⊥ = (C(AT))⊥ 라고 할 수 있다. 

 

(행공간이 열공간과 수직인 이유와, 행공간이 전치행렬의 열공간과 같은 이유는 14-1에 있다.)

 

위의 그림과 같이 행렬 A를 행벡터로 써보자.

 

일반적으로 현실에서는 열벡터로 많이 표현하지만, 행벡터를 사용하기 위해서 전치를 이용해서 써봤다.

 

rmT라고 전치로 표현해서 행벡터의 전치인가? 라고 생각할 수 있지만, 전치 부분에 헷갈릴 필요가 없다. 그냥 행벡터라는 뜻이다.

 

A의 영공간은 Ax=0을 만족하는 모든 x의 집합이다.

 

따라서, Ax = 0을 만족하면, r1∙x = 0; r2∙x = 0; ...; rm∙x = 0 을 만족해야한다.

 

내적이 0이라는 것은 두 벡터가 직교한다는 것과 동일하다.

 

따라서, N(A)의 원소 v1이 있으면, A∙v1 = 0 이고 v1은 r1 ~ rm까지 직교한다고 할 수 있다.

 

그리고, N(A)의 원소들의 선형결합과 행렬의 행들은 직교한다는 뜻이다.

 

 

행벡터의 선형결합인 임의의 벡터를 영공간의 임의의 원소와 내적하면 0이 된다고 했다.

 

R(A) = C(AT)이기 때문에, C(AT)의 원소 w가 있고 N(A)의 원소 v가 있다면

 

v∙w = 0 이 된다.

 

다시 한번 말하면, N(A)의 모든 원소는 R(A)의 모든 원소들과 직교한다.

 

 

C(AT)와 직교하는 집합의 원소 u가 있고, C(AT)의 원소 w가 있다면,

 

u ∙ w = 0 이고, u는 A의 모든 행벡터(rj)와 내적하면 0이 된다.

 

따라서, Au = 0 이고, u는 N(A)의 원소라고 할 수 있다.

 

직교여공간의 모든 원소는 영공간의 원소이다.

 

결론적으로 영공간은 직교여공간의 부분집합이라는 것을 알 수 있다.

 

 

그리고 직교여공간은 영공간의 부분집합이기도 하다.

 

두 공간은 서로의 부분집합이므로, 두 공간은 같은 공간이라고 할 수 있다.

 

-> N(A) = (C(AT))⊥

 

영공간은 행공간의 직교여공간과 동일하다.

 

A를 BT라고 한다면, BT의 영공간은 BT의 열공간의 전치의 직교여공간과 동일하다.

 

-> ( N(BT) = (C((BT)T))⊥ )

 

간단히 정리하면 BT의 영공간은 B의 열공간의 직교여공간과 동일하다.

 

-> ( N(BT) = (C(B))⊥ )

 

좌영공간은 열공간의 직교여공간과 동일하다.