14-4. Rn의 원소를 V와 직교여공간으로 나타내기

(1) V와 V의 직교여공간으로 Rn 표현하기

Rn의 부분집합은 부분공간 V가 있고, V의 직교여공간인 V⊥가 있고 이것 또한 Rn의 부분집합이다.

 

앞에서 정리한 것처럼 dim(V) + dim(V⊥) = n이다.

 

 

두 부분공간이 공통으로 가지는 벡터가 존재할까?

 

x라는 벡터가 V와 V⊥의 원소라고 가정해보자.

 

둘이 직교하기 때문에 V에 속하는 모든 v에 대해서 x·v = 0 이고,

 

 

x·x = 0 역시 성립한다.

 

자기 자신과의 내적은 길이의 제곱과 같기 때문에, ||x||²=0 이라는 의미이고, 이는 x = 0 일때만 성립한다.

 

따라서, V와 V⊥의 교집합 원소는 0이고, 이를 그림으로 그려보면 위와 같이 된다.

 

dim(V) = k 라고 하면, dim(V⊥) = n-k 가 된다.

 

차원은 기저에 필요한 선형독립한 벡터의 개수를 말한다.

 

기저를 표현해보면,

 

V의 기저는 {v1, v2, ..., vk}

 

V⊥의 기저는 {w1, w2, ..., wn-k} 이다.

 

V와 V⊥의 임의의 벡터는 기저벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있다.

 

이 두 개의 집합을 합치면 Rn 전체의 벡터와 기저를 얻을 수 있는지 알아보자.

 

Rn의 원소는 (c1v1+c2v2+ ... + ckvk) + (d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k)) 으로 표현할 수 있고,

 0이라고 해보자.

 

만약, c1, c2, ..., ck, d1, d2, ..., d(n-k)가 모두 0일 때만 위의 식이 성립한다면, v1, v2, ..., vk, w1, w2, ..., w(n-k)가 모두 선형독립하다는 것을 알 수 있다.

 

그리고 서로에 대해 모두 선형독립하다면, 이들이 Rn의 기저가 될 수 있다.

 

 

(c1v1+c2v2+ ... + ckvk) + (d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k)) = 0  에서

 

 

(d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k))를 우항으로 넘겨주면,

 

 

(c1v1+c2v2+ ... + ckvk) = -(d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k)) 이다.

 

c1v1+c2v2+ ... + ckvk 부분을 x라고 한다면, x는 V의 원소를 표현한 식이기도 하다.

 

-(d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k)) 도 x이고, x는 V⊥의 원소를 표현한 식이 된다.

 

x는 V와 V⊥의 원소가 되어야하므로, 

 

x = 0 이어야만 한다.

 

 

그 말은 즉, (c1v1+c2v2+ ... + ckvk) = 0 이고, (d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k)) = 0 이어야만, 두 벡터의 합이 0이 된다는 것이다.

 

v1, v2, ..., vk는 기저벡터로 선형독립하므로, c1, c2, ..., ck가 0이어야 (c1v1+c2v2+ ... + ckvk)를 0으로 만들 수 있다.

 

w1, w2, ..., w(n-k) 역시 선형독립이므로, d1, d2, ..., d(n-k)가 0이어야만 한다.

 

 

(c1v1+c2v2+ ... + ckvk) + (d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k)) = 0  에서

 

모든 상수가 0이어야만 합이 0이 될 수 있기 때문에,

 

v1, v2, ..., vk, w1, w2, ..., w(n-k)는 모두 선형독립이고, Rn의 기저벡터가 된다.

 

예전에 정리했던 내용인데,

 

n차원의 부분공간이 존재할 때, 그 부분공간에 속하는 n개의 선형독립 벡터가 있으며, 이 n개의 벡터 혹은 n개의 벡터 집합은 부분공간의 기저가 된다고 했다.

 

Rn은 n차원 부분공간이기 때문에, dim(Rn) = n이 된다.

 

벡터 a가 Rn의 원소라고 하자.

 

a = (c1v1+c2v2+ ... + ckvk) + (d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k)) 으로 표현할 수 있고,

 

 

(c1v1+c2v2+ ... + ckvk) 는 V의 원소 v,

 

 

(d1w1+d2w2+ ... + d(n-k)w(n-k))는 V⊥의 원소 x이다.

 

즉, Rn의 원소 a를 v+x(V + V⊥)의 형태로 나타낼 수 있다는 것이다.

 

그런데 a를 표현할 방법은 1가지로 유일할까?

 

v와 x가 유일하지 않다고 가정해보자.

 

a = v1 + x1

 

a = v2 + x2 가 모두 가능하다.

 

v1 + x1 = v2 + x2를 정리해보면,

 

v1 - v2 = x2 - x1  = Z 라고 할 수 있다.

 

V와 V⊥은 덧셈에 닫혀있으므로,

 

v1 - v2 ∈ V ( = Z ∈ V)

x2 - x1 ∈ V⊥ ( = Z ∈ V⊥) 이 성립한다.

 

Z가 V와 V⊥의 원소이려면, Z = 0 이어야만 한다.

 

Z = 0 이라면,

 

Z = v1 - v2 = 0v1 = v2

 

Z = x2 - x1 = 0

x2 = x1

 

하지만, v1과 v2는 선형독립이기 때문에 같은 벡터가 될 수 없고, x2과 x1도 동일하다.

 

결론적으로 v와 x가 유일하다는 것을 알 수 있다.

 

따라서, Rn의 원소를 부분공간 V의 벡터와 V의 직교여공간의 벡터의 합으로 나타내는 데에는 한 가지의 고유한 방법만이 존재한다.

 

 

 

위의 내용을 요약하자면,

 

V와 V⊥의 공통의 원소는 0밖에 없다는 사실을 알아냈고,

 

V+V⊥이 0이 되는 유일한 해는 각각의 상수가 0일 때이며,

 

V와 V⊥의 기저벡터가 Rn(V+V⊥)의 기저벡터라는 사실을 알 수 있었다.

 

Rn의 V와 V⊥에서, Rn의 원소를 표현하는 방법은 1가지밖에 없다.