SInce 20180106

(1) 고유기저 변환 T는 Rn -> Rn으로 사상하는 변환이고, T(x) = Ax로 나타낼 수 있다. 만약, n개의 선형독립인 고유벡터로 이뤄진 행렬 A가 있다고 가정해보자. A가 {v1, v2, ..., vn}의 벡터로 이뤄져있으며, 이러한 고유기저벡터 집합을 B라고 해보자. 각 고유벡터를 변환 T해보자. T(v1) = Av1 = λ1v1 + 0v2 + ... + 0vn (λ1은 고유값) T(v2) = Av2 = 0v1 + λ2v2 + ... + 0vn ... T(vn) = Av1 = 0v1 + 0v2 + ... + λnvn 앞에서 했던 기저변환에 대한 내용을 살짝 정리해보면, x에 A를 곱해주면 T(x) x에 C-1을 곱해주면 [x]B [x]B에 C를 곱해주면 x [x]B에 D를 곱해주면 [T(x)..

(1) 고유값 결정식 Rn에서 Rn으로 사상하는 변환 T가 있고, T(x) = Ax와 같이 표현할 수 있다. 벡터 v에 대해서 변환을 취하면, Av가 되고, 이 결과는 v에 어떤 계수 λ만큼 곱해진 λv가 된다고 해보자. 이를 만족하는 벡터 v를 고유벡터(eigen vector)라고 하고, 계수를 고유값(eigen value)라고 한다. 고유벡터나 고유값을 구하기 위해서는, Av = λv를 만족하는 해를 구해야 하는데, 이를 어떻게 구할 수 있을까? v가 영벡터이면 된다. v가 영벡터라면 방정식을 확실히 만족하게 되지만, 부분공간을 생성하는 기저벡터의 수가 늘지 않기에 기저에 어떤 것도 추가하지 못하며, 고유값도 어떤 값이든 다 될 수 있다. 따라서, 의미있는 정보를 갖지 못하는 v=0을 제외하고, 영벡..

(1) 정규직교기저(Orthonormal basis) 집합 B에는 v1, v2, ..., vk의 벡터가 있고, 이 벡터들은 모두 길이가 1인 벡터라고 하자. 그래서 ||vi|| = 1 이고, ||vi||² = 1 이다. 모든 i에 대해 vi와 vi의 내적이 1이기도 하다. (i는 1~k가 될 수 있다.) 이를 정규직교집합이라고 하는데, 정규직교집합의 특징은 3가지가 있다. 1. 모든 벡터들의 길이가 1이다. 즉, 모두 정규화된 단위벡터이다. 2. 모든 벡터들이 서로 직교한다. (vi와 vj를 내적하면 1이 된다.) 그래서 i = j이면 vi · vj = 0, i ≠ j 이면 vi · vj = 0 이 된다. 3. 모든 벡터들은 선형독립이다. 만약 집합 B가 정규직교집합이라면, B는 선형독립이 된다고 했다...

(1) 기약행사다리꼴 행렬의 열 지난번에 기약행사다리꼴의 피벗 열이 기존 행렬의 열공간에 대한 기저라고 했다. 위의 경우에는 열공간의 계수, 차원이 3이다. 그런데 왜 기약행사다리꼴의 피벗 열이 A의 열공간에 대한 기저 열이 되는 걸까? 그 이유를 알아보도록 하자. 행렬 A가 있고, A의 기약행사다리꼴 행렬 R이 있다. R에서 r1, r2, r4는 피벗 열이고, 선형독립이다. 왜냐하면 다른 열의 0을 이용하여 1을 구할 수 없기 때문이다. 이들은 선형독립이기 때문에, c1r1 + c2r2 + c4r4 = 0 에서 방정식의 해는 유일하다. c1 = c2 = c4 = 0 가 유일한 해이다. Rx = 0 이라는 영공간을 구하려면, c3, c5가 0이어야만 한다. R의 영공간은 A의 영공간과 동일하기 때문에, ..

(1) 영공간과 선형독립 m개의 행과 n개의 열로 이루어져 있는 행렬 A가 있다. 이번에는 A의 열벡터의 선형독립과 선형종속을 A의 영공간과 연관지어 보겠다. A에는 n개의 열이 있고, 각 열은 m차원의 벡터로 이뤄져있다. A의 각 열을 v1, v2, ..., vn이라고 할 수 있다. 그러면 m×n인 행렬 A를 열벡터들의 행렬로 바꿔 쓸 수 있다. A의 영공간이 뭔지 다시 적어보면, 영공간은 n차원 공간의 벡터 중에서 Ax = 0을 만드는 x벡터의 집합을 말한다. 그러므로 열벡터로 표현한 행렬 A를 어떠한 벡터 x와 곱하면, m개의 0을 갖는 영벡터가 나오게 될 것이다. 행렬의 곱을 풀어주면, x1v1+x2v2+...+xnvn=0 이 된다. 이 식은 선형독립에서 봤던 식과 동일하다. x1v1+x2v2+...

1. 선형종속 증명 선형종속을 만족하는 벡터들의 집합 S의 원소에 v1, v2, ..., vn까지 있다고 하자. 필요충분조건(iff, if and only if, 초록색 양방향 화살표)으로서 c1·v1+...+cn·vn = 0 을 만족시킨다면 선형종속이라고 할 수 있으며, 선형종속을 만족시킨다면 c1·v1+...+cn·vn = 0 이라고 할 수 있다. 이 때의 상수 c1, c2, ... cn에서 어떤 ci는 0이 아니다. 즉, 상수 c 중에서 0이 아닌 것이 최소한 1개는 존재한다는 의미이다. 이를 증명해보자. 선형종속을 만족하는 v1, v2, ... , vn이 있다. 선형종속이라면 한 벡터는 다른 벡터들의 합으로 표현될 수 있다고 가정하자. 수식으로 표현하면 v1 = a2v2 + a3v3 + ... +..

1. 선형종속(Linearly Dependent) & 선형독립(Linearly Independent) Span{ (2,3), (4,6) }이 있을 때, 두 벡터로 생성할 수 있는 모든 벡터는 무엇일까? (2,3)과 (4,6)은 한 직선 위에 있기 때문에, Span{ c*(2,3) }과 같이 표현할 수 있다. 즉, 첫 번째 벡터의 스칼라곱으로 간단히 나타낼 수 있다. R²상에서 생성할 수 있는 벡터는 직선뿐이다. 이러한 것을 보고 선형종속이라고 한다. 어떤 벡터를 선택하든 새로운 방향이나 정보가 없기 때문에, 크기만 커질 뿐 동일한 방향으로 진행하며 직선을 벗어나는 새로운 차원이 주어지지 않는다. R³공간에서 동일선상에 없는 벡터a와 또 다른 벡터b가 있으면 2차원 공간을 정의하게 된다. 이 평면이 노란색..