6-10. 기저 열과 축 열의 관계

(1) 기약행사다리꼴 행렬의 열

 

지난번에 기약행사다리꼴의 피벗 열이 기존 행렬의 열공간에 대한 기저라고 했다.

 

위의 경우에는 열공간의 계수, 차원이 3이다.

 

그런데 왜 기약행사다리꼴의 피벗 열이 A의 열공간에 대한 기저 열이 되는 걸까?

 

그 이유를 알아보도록 하자.

 

행렬 A가 있고, A의 기약행사다리꼴 행렬 R이 있다.

 

R에서 r1, r2, r4는 피벗 열이고, 선형독립이다.

 

왜냐하면 다른 열의 0을 이용하여 1을 구할 수 없기 때문이다.

이들은 선형독립이기 때문에, c1r1 + c2r2 + c4r4 = 0 에서 방정식의 해는 유일하다.

c1 = c2 = c4 = 0 가 유일한 해이다.

 

 

 

Rx = 0 이라는 영공간을 구하려면, c3, c5가 0이어야만 한다.

 

R의 영공간은 A의 영공간과 동일하기 때문에, A의 해가 [c1, c2, 0, c4, 0]이 된다.

 

따라서, Ax = 0 을 만족하는 해집합 [c1, c2, 0, c4, 0]를 대입해보면

 

c1a1 + c2a2 + c4a4 = 0 이 된다.

 

이 식의 해는 c1 = c2 = c4 = 0 이 유일하며,

 

a1, a2, a4는 선형독립이라는 사실을 도출해낼 수 있다.

 

 

6-9. 열공간의 차원(랭크)에서 

 

R의 피벗 열들은 선형독립이기 때문에, r1, r2, r4는 선형독립이다.

 

따라서, 이에 대응하는 A의 열들 a1, a2, a4 또한 선형독립한다.

 

라고 하고 그냥 넘어갔는데, 영공간을 이용해서 연결한 결과이다.