7-1. 선형변환과 필요충분조건

(1) 선형변환 (Linear Transformation)

 

 

함수는 쉽게 말하면 하나의 값을 다른 값으로 변환해주는 식이다.

 

변환에서도 특별한 종류인 선형변환에 대해 알아보겠다.

 

선형변환은 Rn에서 Rm으로 변환해주는 것이고,

 

무엇인가가 선형변환이라는 것은 필요충분조건 2가지를 만족한다는 것이다.

 

조건 1) 두 벡터의 합 벡터의 변환 결과는 벡터 각각을 선형변환하여 더한 것과 같다.

 

조건 2) 벡터에 스칼라나 실수를 곱한 것을 변환한 결과는 벡터를 변환한 것에 스칼라배한 것과 같다.

 

 

이러한 규칙으로 선형변환인지 아닌지 판별할 수 있는지 알아보자.

 

 

변환 T는 (x₁, x₂)를 (x₁+x₂, 3x₁)으로 바꿔주는 함수가 있다고 가정하자. (R²에서 R²로 변환)

 

T가 선형변환인지 아닌지 판단해보자.

 

조건 1) 두 벡터의 합 벡터의 변환 결과는 벡터 각각을 선형변환하여 더한 것과 같다.

 

두 벡터 a = [a₁, a₂], b = [b₁, b₂]가 있을 때, 두 벡터의 합은 a+b = [a₁+b₁, a₂+b₂]이다. (자홍색)

 

T([x₁, x₂]) = [x₁+x₂, 3x₁] 이기 때문에, 

 

T(a+b) = T([a₁+b₁, a₂+b₂]) = [a₁+b₁+a₂+b₂, 3a₁+3b₁] 이다.

 

T(a) = [a₁+a₂, 3a₁]

 

T(b) = [b₁+b₂, 3b₁]

 

T(a) + T(b) = [a₁+b₁+a₂+b₂, 3a₁+3b₁] 이다.

 

따라서, T(a+b) = T(a) + T(b) 를 만족한다.

 

 

조건 2) 벡터에 스칼라나 실수를 곱한 것을 변환한 결과는 벡터를 변환한 것에 스칼라배한 것과 같다.

 

T(ca) = T([ca₁, ca₂]) = [ca₁ + ca₂, 3ca₁] = c[a₁+a₂, 3a₁]

 

 

cT(a) = c[a₁+a₂, 3a₁]

 

따라서, T(ca) = cT(a) 를 만족한다.

 

두 조건을 모두 만족하므로 이 변환 T는 선형변환이다.

 

 

하지만 모든 변환이 선형변환은 아니다.

 

반례를 들어보자.

 

변환 T는 [x₁, x₂]을 [x₁², 0]로 변환한다고 해보자.

 

이것이 선형변환일까?

 

 

a = [a₁, a₂] 일 때, T(a) = [a₁², 0] 이다.

 

T(ca) = [c²a1², 0] 이다.

 

T(ca) = c²T(a) 이기 때문에, 선형변환이 아니다.

 

 

만약 내가 보고 있는 변환이 선형변환인지 아닌지 직관적으로 알고 싶다면, 그 변환이 오직 다른 성분들의 선형결합만을 포함하는지 보면 된다.

 

일반적으로 변환이 선형결합만 한다면 그것은 아마 선형변환일 것이다.

 

하지만 어디선가 성분이 서로 곱해지거나 제곱이나 지수가 보이기 시작한다면, 그것은 아마 선형변환이 아닐 가능성이 높다.

 

함수가 애매한 영역에 있더라도 선형결합은 곧 선형변환으로 직결되는 경우가 많다.