SInce 20180106

(1) 그람 슈미트 예제 저번의 예제에서 조금 확장해서, R4 공간에서 벡터 3개로 생성되는 부분공간 V의 정규직교기저를 구해보자. V = span([0 0 1 1], [0 1 1 0], [1 1 0 0]) 이다. u1 = v1 / ||v1|| ||v1|| = √2 u1 = 1/√2 [0 0 1 1] u2 = y2 / ||y2|| y2 = v2 - projV1v2 = v2 - (v2 ⋅ u1)u1 = [0 1 1/2 -1/2] ||y2|| = √3/2 u2 = √2/3[0 1 1/2 -1/2] V = span(v1, v2, v3) = span(u1, v2, v3) = span(u1, y2, v3) - u1은 정규화되었고, y2는 직교기저이다. = span(u1, u2, v3) - 여기까지 구했다. u3 ..

(1) 그람슈미트 예제 저번에 정규직교기저를 생성하는 과정을 정리했는데, 이를 그람 - 슈미트 과정이라고 한다. 좀 더 구체적인 예시를 들어서 보면, 이전에 모호했던 것이 좀 더 직관적으로 이해가 되지 않을까 싶다. V라는 평면이 x1 + x2 + x3 = 0 이라는 식을 만족한다고 하자. x1 = -x2 - x3 x2 = c1 x3 = c2 x1 = -c1 -c2 이다. V = {[x y z] = c1[-1 1 0] + c2[-1 0 1]} 으로 표현할 수 있다. V의 기저는 [-1 1 0], [-1 0 1] 이 된다. 이건 정규직교기저는 아니고 그냥 기저일 뿐이다. V = span( [-1 1 0], [-1 0 1] ) 이다. V1 = span(v1) = span(u1) 이라고 했기 때문에, u1 =..

(1) 그람-슈미트 과정 V의 기저인 v1, v2, ..., vk가 있다. v들은 정규직교기저는 아니지만, 정규직교기저로 만드는 방법을 그람-슈미트 과정이라고 한다. V1 = span(v1) 이라고 할 때, 정규직교기저 u1 = v1 / ||v1|| 을 하면 구할 수 있다. ||u1|| = ||v1 / ||v1|| || = ||v1|| * 1 / ||v1|| = 1 그래서 {u1} 은 V1의 정규직교기저가 된다. 따라서, V1 = span(v1) = span(u1) 이다. (v1≠u1) 2차원으로 확장해서 정규직교기저를 구해보자. V2 = span(v1, v2) 인데, u1도 v1과 같은 방향의 정규직교기저이기 때문에, V2 = span(u1, v2) 라고 쓸 수도 있다. 그래프를 그려서, 평면 Rn이 ..

(1) 직교기저변환과 길이와 각도 변화 C가 n x n의 정사각행렬이고, 열들이 정규직교집합을 형성한다고 하자. 각 열벡터들은 모두 길이가 1이고, 모두 서로 직교한다. 따라서, 어떤 열을 다른 열과 내적하면 0이 되고, 자기자신과 내적하면 1이 된다. 이러한 행렬을 직교행렬이라고 한다. 직교행렬의 역행렬은 전치행렬과 같다. 앞에서는 이를 기저변환에 주로 활용했다. x를 표준기저라고 하면, 다른 기저의 좌표로 x를 나타낸 [x]B는 기저변환된 좌표라고 할 수 있다. x를 [x]B로 변환하려면 C-1을 곱하고, [x]B를 x로 변환하려면 C를 곱하면 된다. 이는 선형변환이고, 직교행렬에서는 어떤 벡터를 변화시키더라도 길이와 각도가 보전된다는 것을 이 글에서 보이고자 한다. 그림으로 표현하면 분홍색 벡터 x..

(1) 정규직교기저 활용해서 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 있을 때, 부분공간 V에 대해 Rn의 벡터 x의 정사영을 찾고 싶다면 projVx = AATx로 표현할 수 있다고 했다. A = [v1, v2, ..., vk] 이므로, 기저벡터를 열로 가지고 있는 행렬이다. V가 span([1/3, 2/3, 2/3], [2/3, 1/3, -2/3])의 공간이라고 하자. 두 벡터의 길이를 계산해보면 1이고, 서로 직교한다는 것을 알 수 있다. 따라서, v1, v2는 V의 정규직교기저이다. 부분공간은 R3의 평면이고, v1 v2가 정사영한다고 해보자. A가 v1, v2를 열벡터로 가지는 행렬로 만들어보자. A = [1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, -2/3] projVx = AATx = 1/..

(1) 정규직교기저로 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 좋은 좌표계, 즉 좌표를 쉽게 알 수 있는 좌표계를 만드는 것을 보았다. 정규직교기저를 활용하면 유용한 다른 이유들에 대해서 알아보자. 어떤 부분공간 V가 Rn의 부분공간이고, B = {v1, v2, ..., vk}라는 V의 정규직교집합 B가 있다. x ∈ Rn 이면, x = v + w = projvx + w 와 같이 표현할 수 있었다. 이 때, v ∈ V 이고 w ∈ V⊥ 이다. (x는 V 상에 존재하는지 알 수 없다.) 기저 벡터들을 열로 가지고 있는 행렬 A가 있다고 하자. A = [v1, v2, ..., vk] 행렬이라면, x를 부분공간 V에 정사영한 벡터를 찾기 위해서 projVx = A(ATA)-1ATx 라는 식을 계산해야 했다...

(1) 정규직교기저에 대한 좌표 앞에서 정규직교기저가 무엇인지 알아보았다. 그러면 정규직교기저를 어떻게 활용하는지 알아보자. 정규직교기저의 여러 용도 중 하나로 정규직교기저는 좋은 좌표계 혹은 좋은 기저로 사용될 수 있다는 것이다. Rn의 표준 기저를 적어보면, Rn = {[1, ... 0], [0, 1, ..., .], ... , [0, ..., 1]} 과 같이 표현할 수 있다. 각 원소들은 길이가 1이고, 다른 원소와 내적하면 0이 되며, 자기 자신과 내적하면 1이 된다. B = {v1, v2, ..., vk} 와 같이 정규직교집합이 있다. B는 부분공간 V의 정규직교기저이다. B에는 k개의 기저 벡터가 있기 때문에, V는 k차원 부분공간이라는 것을 알 수 있다. B의 벡터들로 이루어진 좌표계를 좋은..

(1) 정규직교기저(Orthonormal basis) 집합 B에는 v1, v2, ..., vk의 벡터가 있고, 이 벡터들은 모두 길이가 1인 벡터라고 하자. 그래서 ||vi|| = 1 이고, ||vi||² = 1 이다. 모든 i에 대해 vi와 vi의 내적이 1이기도 하다. (i는 1~k가 될 수 있다.) 이를 정규직교집합이라고 하는데, 정규직교집합의 특징은 3가지가 있다. 1. 모든 벡터들의 길이가 1이다. 즉, 모두 정규화된 단위벡터이다. 2. 모든 벡터들이 서로 직교한다. (vi와 vj를 내적하면 1이 된다.) 그래서 i = j이면 vi · vj = 0, i ≠ j 이면 vi · vj = 0 이 된다. 3. 모든 벡터들은 선형독립이다. 만약 집합 B가 정규직교집합이라면, B는 선형독립이 된다고 했다...