SInce 20180106

(1) 고유기저 변환 T는 Rn -> Rn으로 사상하는 변환이고, T(x) = Ax로 나타낼 수 있다. 만약, n개의 선형독립인 고유벡터로 이뤄진 행렬 A가 있다고 가정해보자. A가 {v1, v2, ..., vn}의 벡터로 이뤄져있으며, 이러한 고유기저벡터 집합을 B라고 해보자. 각 고유벡터를 변환 T해보자. T(v1) = Av1 = λ1v1 + 0v2 + ... + 0vn (λ1은 고유값) T(v2) = Av2 = 0v1 + λ2v2 + ... + 0vn ... T(vn) = Av1 = 0v1 + 0v2 + ... + λnvn 앞에서 했던 기저변환에 대한 내용을 살짝 정리해보면, x에 A를 곱해주면 T(x) x에 C-1을 곱해주면 [x]B [x]B에 C를 곱해주면 x [x]B에 D를 곱해주면 [T(x)..

(1) 직교기저 변환행렬 구하기 및 그 활용 모든 열벡터들이 정규직교집합을 형성하는 행렬 C가 있다. C가 n x k 행렬일 때, CTC = Ik가 된다고 했다. (대각선 성분을 제외한 모든 것들이 상쇄되어 0이 된다.) 만약, C가 k=n 인 정사각행렬이라면 어떻게 될까? C의 모든 열들은 서로 선형독립이고, C는 가역성을 지닌다. 또한, n개의 열들은 Rn의 기저가 된다. C-1C = In 이고, CTC = In이기 때문에, C-1 = CT가 된다. 결론적으로, n x n 행렬의 열들이 정규직교집합을 형성한다면, C-1 = CT 이다. 어떤 벡터 v1, v2, v3이 있고, 이 벡터들은 모두 단위벡터이고 정규직교집합을 형성하며, R3의 정규직교기저가 된다. v1과 v2에 의해 생성된 평면 V가 있다고..

(1) 정규직교기저 활용해서 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 있을 때, 부분공간 V에 대해 Rn의 벡터 x의 정사영을 찾고 싶다면 projVx = AATx로 표현할 수 있다고 했다. A = [v1, v2, ..., vk] 이므로, 기저벡터를 열로 가지고 있는 행렬이다. V가 span([1/3, 2/3, 2/3], [2/3, 1/3, -2/3])의 공간이라고 하자. 두 벡터의 길이를 계산해보면 1이고, 서로 직교한다는 것을 알 수 있다. 따라서, v1, v2는 V의 정규직교기저이다. 부분공간은 R3의 평면이고, v1 v2가 정사영한다고 해보자. A가 v1, v2를 열벡터로 가지는 행렬로 만들어보자. A = [1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, -2/3] projVx = AATx = 1/..

(1) 앞의 내용 총 정리 지난 번의 내용을 간단하게 복습, 요약정리하고 예제를 적용해보자. Rn에서 Rn으로 사상하는 선형변환 T가 있다면, 표준좌표의 임의의 벡터 x에 A를 곱한 것이라고 나타낼 수 있다. 그리고, Rn의 기저 집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이 있다. 그러면 n개의 선형독립하는 벡터가 있고, 이들을 비표준 기저라고도 할 수 있다. C = [v1, v2, ..., vn] 과 같이, 기저 B를 위한 기저행렬의 변화라고 한다. C[x]B = x [x]B = C-1x 이를 하나의 그림으로 나타낼 수 있다. 표준기저좌표에 x가 있다면, A를 곱하면 선형변환을 한 T(x)를 구할 수 있다. 표준기저좌표 x에 C-1을 곱하면, B에 대한 좌표 [x]B를 구할 수 있다. B에 대한 좌..

(1) 기저의 변환행렬 Rn에서 Rn으로의 사상(mapping)인 선형변환 T가 있다고 하자. 좌표는 여러 개의 좌표계에서 표현될 수 있지만, 여기서의 x는 표준기저좌표에서 표현되는 것이라고 생각하자. 그러면 T(x) = Ax 이고, A는 표준기저에 관해서 변환 T를 위한 변환행렬이 된다. 이 때, 기저집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이고, B가 Rn의 기저라고 한다면 [T(x)]B = D[x]B 와 같이 표현할 수 있고, D는 기저 B에 관하여 변환 T를 위한 변환행렬이 된다. 이전에 했던 것과 같이 C = [v1, v2, ..., vn] 이라고 하자. 그러면 C[x]B = x [x]B = C-1x 가 성립한다. [T(x)]B = D[x]B 에서 D[x]B = [T(x)]B = [Ax]B ..