SInce 20180106

(1) 그람 슈미트 예제 저번의 예제에서 조금 확장해서, R4 공간에서 벡터 3개로 생성되는 부분공간 V의 정규직교기저를 구해보자. V = span([0 0 1 1], [0 1 1 0], [1 1 0 0]) 이다. u1 = v1 / ||v1|| ||v1|| = √2 u1 = 1/√2 [0 0 1 1] u2 = y2 / ||y2|| y2 = v2 - projV1v2 = v2 - (v2 ⋅ u1)u1 = [0 1 1/2 -1/2] ||y2|| = √3/2 u2 = √2/3[0 1 1/2 -1/2] V = span(v1, v2, v3) = span(u1, v2, v3) = span(u1, y2, v3) - u1은 정규화되었고, y2는 직교기저이다. = span(u1, u2, v3) - 여기까지 구했다. u3 ..

(1) 그람슈미트 예제 저번에 정규직교기저를 생성하는 과정을 정리했는데, 이를 그람 - 슈미트 과정이라고 한다. 좀 더 구체적인 예시를 들어서 보면, 이전에 모호했던 것이 좀 더 직관적으로 이해가 되지 않을까 싶다. V라는 평면이 x1 + x2 + x3 = 0 이라는 식을 만족한다고 하자. x1 = -x2 - x3 x2 = c1 x3 = c2 x1 = -c1 -c2 이다. V = {[x y z] = c1[-1 1 0] + c2[-1 0 1]} 으로 표현할 수 있다. V의 기저는 [-1 1 0], [-1 0 1] 이 된다. 이건 정규직교기저는 아니고 그냥 기저일 뿐이다. V = span( [-1 1 0], [-1 0 1] ) 이다. V1 = span(v1) = span(u1) 이라고 했기 때문에, u1 =..

(1) 그람-슈미트 과정 V의 기저인 v1, v2, ..., vk가 있다. v들은 정규직교기저는 아니지만, 정규직교기저로 만드는 방법을 그람-슈미트 과정이라고 한다. V1 = span(v1) 이라고 할 때, 정규직교기저 u1 = v1 / ||v1|| 을 하면 구할 수 있다. ||u1|| = ||v1 / ||v1|| || = ||v1|| * 1 / ||v1|| = 1 그래서 {u1} 은 V1의 정규직교기저가 된다. 따라서, V1 = span(v1) = span(u1) 이다. (v1≠u1) 2차원으로 확장해서 정규직교기저를 구해보자. V2 = span(v1, v2) 인데, u1도 v1과 같은 방향의 정규직교기저이기 때문에, V2 = span(u1, v2) 라고 쓸 수도 있다. 그래프를 그려서, 평면 Rn이 ..

(1) 정규직교기저로 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 좋은 좌표계, 즉 좌표를 쉽게 알 수 있는 좌표계를 만드는 것을 보았다. 정규직교기저를 활용하면 유용한 다른 이유들에 대해서 알아보자. 어떤 부분공간 V가 Rn의 부분공간이고, B = {v1, v2, ..., vk}라는 V의 정규직교집합 B가 있다. x ∈ Rn 이면, x = v + w = projvx + w 와 같이 표현할 수 있었다. 이 때, v ∈ V 이고 w ∈ V⊥ 이다. (x는 V 상에 존재하는지 알 수 없다.) 기저 벡터들을 열로 가지고 있는 행렬 A가 있다고 하자. A = [v1, v2, ..., vk] 행렬이라면, x를 부분공간 V에 정사영한 벡터를 찾기 위해서 projVx = A(ATA)-1ATx 라는 식을 계산해야 했다...

(1) 정규직교기저에 대한 좌표 앞에서 정규직교기저가 무엇인지 알아보았다. 그러면 정규직교기저를 어떻게 활용하는지 알아보자. 정규직교기저의 여러 용도 중 하나로 정규직교기저는 좋은 좌표계 혹은 좋은 기저로 사용될 수 있다는 것이다. Rn의 표준 기저를 적어보면, Rn = {[1, ... 0], [0, 1, ..., .], ... , [0, ..., 1]} 과 같이 표현할 수 있다. 각 원소들은 길이가 1이고, 다른 원소와 내적하면 0이 되며, 자기 자신과 내적하면 1이 된다. B = {v1, v2, ..., vk} 와 같이 정규직교집합이 있다. B는 부분공간 V의 정규직교기저이다. B에는 k개의 기저 벡터가 있기 때문에, V는 k차원 부분공간이라는 것을 알 수 있다. B의 벡터들로 이루어진 좌표계를 좋은..

(1) 정규직교기저(Orthonormal basis) 집합 B에는 v1, v2, ..., vk의 벡터가 있고, 이 벡터들은 모두 길이가 1인 벡터라고 하자. 그래서 ||vi|| = 1 이고, ||vi||² = 1 이다. 모든 i에 대해 vi와 vi의 내적이 1이기도 하다. (i는 1~k가 될 수 있다.) 이를 정규직교집합이라고 하는데, 정규직교집합의 특징은 3가지가 있다. 1. 모든 벡터들의 길이가 1이다. 즉, 모두 정규화된 단위벡터이다. 2. 모든 벡터들이 서로 직교한다. (vi와 vj를 내적하면 1이 된다.) 그래서 i = j이면 vi · vj = 0, i ≠ j 이면 vi · vj = 0 이 된다. 3. 모든 벡터들은 선형독립이다. 만약 집합 B가 정규직교집합이라면, B는 선형독립이 된다고 했다...

(1) 기저에 대한 좌표 Rn의 부분공간 V가 있고, B는 V의 기저라고 하자. a∈V라고 할 때, a는 기저벡터들의 선형결합의 형태로 표현할 수 있다. a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk 만약, 기저벡터들을 그래프의 축이라고 생각해본다면, 벡터 a를 기저 집합 B에 대한 좌표들로 쓸 수도 있다. 이를 수식으로 표현해보면 [a]B = [c1, c2, ..., ck] 와 같이 괄호안에 써서 B라는 기저집합에 대해 표현할 수 있다. 여기서 V가 n차원의 부분공간인데 왜 B가 k차원인지 궁금할 수도 있다. 예를 들어서 생각해보면 간단하다. R3라는 공간에 부분공간은 2차원 평면일 수도 있고, 3차원일 수도 있다. 따라서, k는 n보다 작은 값이 되게 된다. 그래야 a라는 벡터가 Rn의 원소이더..

(1) V와 V의 직교여공간으로 Rn 표현하기 Rn의 부분집합은 부분공간 V가 있고, V의 직교여공간인 V⊥가 있고 이것 또한 Rn의 부분집합이다. 앞에서 정리한 것처럼 dim(V) + dim(V⊥) = n이다. 두 부분공간이 공통으로 가지는 벡터가 존재할까? x라는 벡터가 V와 V⊥의 원소라고 가정해보자. 둘이 직교하기 때문에 V에 속하는 모든 v에 대해서 x·v = 0 이고, x·x = 0 역시 성립한다. 자기 자신과의 내적은 길이의 제곱과 같기 때문에, ||x||²=0 이라는 의미이고, 이는 x = 0 일때만 성립한다. 따라서, V와 V⊥의 교집합 원소는 0이고, 이를 그림으로 그려보면 위와 같이 된다. dim(V) = k 라고 하면, dim(V⊥) = n-k 가 된다. 차원은 기저에 필요한 선형독..

(1) 행렬 A의 기저열과 나머지 열의 관계 6-9 글에서 A의 열공간에 대한 기저를 찾는 방법을 정리했다. 그리고 6-10에서는 기약행사다리꼴의 피봇 열이 기저이고, 이에 대응하는 A의 열 역시 기저라는 사실을 보였다. 이번에는 A의 기저 열 외의 열들이 왜 기저가 아니고, 기저 열들의 선형결합으로 나타낼 수 있는지 알아보겠다. 행렬 A와 A의 기약행사다리꼴행렬 R이 있으며, r1, r2, r4는 선형독립이면서 기저이고, 이에 대응하는 a1, a2, a4도 선형독립이면서 열벡터를 생성하는 기저이다. (왜냐하면 R과 A가 같은 영공간을 갖기 때문이다.) 기저 열만으로 이뤄진 span(a1, a2, a4)는 C(A)이고, 기저 열과 다른 열벡터로 이뤄진 span(a1, a2, a3, a4, a5) 역시 C..

(1) 열공간의 차원(랭크) 이전에는 행렬의 열공간은 생각보다 구하기 단순하다는 것을 볼 수 있었다. A의 열공간은 A의 열벡터들의 선형결합식과 같고, 열벡터들의 생성이다. 그래서 우선 열벡터들을 각각 a1, a2, a3, a4, a5로 불러보자. 그러면 A의 열공간은 span(a1, a2, a3, a4, a5)과 같다고 할 수 있다. 우리가 이번에 알고 싶은 것은 열벡터들이 열공간의 기저가 되는지이다. A의 열벡터의 기저 = C(A)를 생성하는 벡터 이다. 기저 벡터들은 모두 선형독립이여야 한다. 그래서 우선은 A를 기약행사다리꼴로 만들어서, 피벗벡터와 자유벡터를 구해보자. 기약행사다리꼴 R은 [1, 0, -1, 0, 4 0, 1, 2, 0, 1 0, 0, 0, 1, -3 0, 0, 0, 0, 0] 이..