17-7. 그람-슈미트 과정

(1) 그람-슈미트 과정

V의 기저인 v1, v2, ..., vk가 있다.

 

v들은 정규직교기저는 아니지만, 정규직교기저로 만드는 방법을 그람-슈미트 과정이라고 한다.

 

V1 = span(v1) 이라고 할 때,

 

정규직교기저 u1 = v1 / ||v1|| 을 하면 구할 수 있다.

 

||u1|| = ||v1 / ||v1|| || = ||v1|| * 1 / ||v1|| = 1

 

그래서 {u1} 은 V1의 정규직교기저가 된다.

 

따라서, V1 = span(v1) = span(u1) 이다. (v1≠u1)

 

 

2차원으로 확장해서 정규직교기저를 구해보자.

 

V2 = span(v1, v2) 인데, u1도 v1과 같은 방향의 정규직교기저이기 때문에,

 

V2 = span(u1, v2) 라고 쓸 수도 있다.

 

그래프를 그려서, 평면 Rn이 있고, u1과 v1이 같은 방향으로 전개되고 있는 것을 그려보자.

 

v2가 자홍색 벡터처럼 있다면, v1과 v2는 일차독립이고, v2는 v1의 일차결합으로 나타낼 수 없는 벡터이다.

 

v2를 u1과 완전히 직교한 벡터 y2로 만들면 이 벡터는 u1과 일차결합하여 V2를 생성할 수 있을 것이다.

 

y2는 v1에 직교하는 벡터이므로, V1의 직교여공간이 된다.

 

식으로 표현해보면, v2 = x + y 이고, x ∈ V1 and y ∈ V1⊥ 이다.

 

x는 v2를 V1에 정사영한 값과 같기 때문에, x = projV1v2이 된다.

 

따라서, y2 = v2 - projV1v2

 

projV1v2 = (v2 ⋅ u1) u1 이므로,

 

 

y2 = v2 - (v2 ⋅ u1) u1

 

y2를 구하려면 위의 식을 활용하면 된다.

 

그리고, y2는 u1과 직교하기 때문에, span(u1, y2) = V2라고 쓸 수 있다.

 

1차원에서처럼 u2 = y2 / ||y2|| 를 해주면, 길이가 1인 정규직교기저 u2를 구할 수 있다.

 

따라서, V2 = span(u1, u2)가 된다.

 

V3로 확장해보자.

 

V3 = span(u1, u2, v3) 가 된다.

 

u1, u2가 평면을 생성하고, v3가 V2에 존재하지 않는다.

 

v3에서 정규직교기저 y3를 구하기 위해서는, v3에서 v3를 V2에 정사영한 projV2v3를 빼주면 된다.

 

y3 = v3 - projV2v3

 

projV2v3 = (v3 ⋅ u1) u1 + (v3 ⋅ u2) u2

 

y3 = v3 - (v3 ⋅ u1) u1 + (v3 ⋅ u2) u2

 

u3 = y3 / ||y3||

 

V3 = span(u1, u2, u3) 가 된다.

 

 

V4로 확장하면 똑같다.

 

y4 = v4 - projV3v4

 

이를 활용하여 y4를 구할 수 있다.

 

u4 = y4 / ||y4||

 

V4 = span(u1, u2, u3, u4)

 

 

이렇게 기저에서 정규직교기저를 구하는 과정을 그람 슈미트 과정이라고 한다.