17-8. 그람슈미트 예제 1

(1) 그람슈미트 예제

저번에 정규직교기저를 생성하는 과정을 정리했는데, 이를 그람 - 슈미트 과정이라고 한다.

 

좀 더 구체적인 예시를 들어서 보면, 이전에 모호했던 것이 좀 더 직관적으로 이해가 되지 않을까 싶다.

 

V라는 평면이 x1 + x2 + x3 = 0 이라는 식을 만족한다고 하자.

 

x1 = -x2 - x3

x2 = c1

x3 = c2

x1 = -c1 -c2 이다.

 

V = {[x y z] = c1[-1 1 0] + c2[-1 0 1]} 으로 표현할 수 있다.

 

V의 기저는 [-1 1 0], [-1 0 1] 이 된다. 이건 정규직교기저는 아니고 그냥 기저일 뿐이다.

 

V = span( [-1 1 0], [-1 0 1] ) 이다.

 

V1 = span(v1) = span(u1) 이라고 했기 때문에, 

 

u1 = v1 / ||v1|| = [-1 1 0] / √2

 

V2 = span(v1, v2) = span(u1, v2) = span(u1, y2) 이다.

 

왜냐하면, u1과 v1은 같은 선 상에 있기 때문에 대체 가능하고, y2는 u1과 직교하기 때문에 v2를 대체가능하다.

 

그래프 상에서 나타난 것을 식으로 표현해보면,

 

y2 = v2 - projV1v2

= v2 - (v2 ⋅ u1)u1

= [-1 0 1] - ([-1 0 1] ⋅ 1/√2[-1 1 0])1/√2[-1 1 0]

= [-1/2 -1/2 1]

 

u2 = y2 / ||y2|| 이고,

 

||y2|| = √3/2

 

u2 = [-1/2 -1/2 1] * √2/3 = [-1 1 0] / √2

 

이렇게, V의 정규직교기저 {u1, u2}를 간단하게 구할 수 있다.