18-1. 고유값, 고유벡터

(1) 고유값, 고유벡터 (eigenvalue, eigenvector)

앞에서 계속 벡터를 변환하는 것에 대해서 알아봤다.

 

Rn -> Rn인 변환 T가 있을 때 T(v)라고 한다면, Av를 해서 벡터의 방향과 길이를 바꿔주곤 했다.

 

그래프 상에 표현해보면, v1 = [1, 2]이고, v1를 길게해서 나타낸 직선 L이 있다. 

 

벡터 x가 있다면 L에 대해서 대칭을 해서 T(x)를 구하곤 했다.

 

 

고유값과 고유벡터도 선형변환에서 똑같이 나오는 개념이다.

 

그런데, 고유값과 고유벡터는 선형변환을 할 때, 벡터의 길이만 바뀌었을 때의 값이다.

 

예를 들어, v1을 L에 대해서 변환하는 T(v1) = 1 * v1이다. (v1이 L 상에 있기 때문)

 

이 때, v1을 고유벡터, 1을 고유값이라고 한다.

 

예를 들어, v2 = [2, -1] 이고 v2를 L에 대해서 변환하면 T(v1) = -1 * v2이다. (v2는 L과 직교하기 때문)

 

이 때, v2를 고유벡터, -1을 고유값이라고 한다.

 

즉, 변환에 의해서 크기만 바뀌어야 한다.

 

 

위 예시들을 일반화해보자.

 

T(v)=λv 라는 식을 따르는 벡터들을 변환 T에 대한 고유벡터(eigenvector)라고 부른다.

 

그리고 고유벡터에 곱해지는 람다(λ)를 고유벡터에 대응하는 고유값(eigenvalue)라고 한다.

 

 

위의 그림과 같은 구조가 되어야한다.

 

고유라고 하니까 뭔가 어려워보이지만, 사실 그냥 변환에 의해 크기만 변화하는 벡터를 말한다.

 

 

한가지 실제 예시를 들어보면,

 

T(x) = Ax 에서 A = [2, 1; 1, 2] 이다.

 

x = [1, 1] 이라면,

 

Ax = [2, 1; 1, 2] [1, 1] = [3, 3] = 3[1, 1]

 

여기에서 [1, 1]을 고유벡터, 3을 고유값이라고 할 수 있다.