SInce 20180106

(1) 고유값, 고유벡터 (eigenvalue, eigenvector) 앞에서 계속 벡터를 변환하는 것에 대해서 알아봤다. Rn -> Rn인 변환 T가 있을 때 T(v)라고 한다면, Av를 해서 벡터의 방향과 길이를 바꿔주곤 했다. 그래프 상에 표현해보면, v1 = [1, 2]이고, v1를 길게해서 나타낸 직선 L이 있다. 벡터 x가 있다면 L에 대해서 대칭을 해서 T(x)를 구하곤 했다. 고유값과 고유벡터도 선형변환에서 똑같이 나오는 개념이다. 그런데, 고유값과 고유벡터는 선형변환을 할 때, 벡터의 길이만 바뀌었을 때의 값이다. 예를 들어, v1을 L에 대해서 변환하는 T(v1) = 1 * v1이다. (v1이 L 상에 있기 때문) 이 때, v1을 고유벡터, 1을 고유값이라고 한다. 예를 들어, v2 =..

(1) 앞의 내용 총 정리 지난 번의 내용을 간단하게 복습, 요약정리하고 예제를 적용해보자. Rn에서 Rn으로 사상하는 선형변환 T가 있다면, 표준좌표의 임의의 벡터 x에 A를 곱한 것이라고 나타낼 수 있다. 그리고, Rn의 기저 집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이 있다. 그러면 n개의 선형독립하는 벡터가 있고, 이들을 비표준 기저라고도 할 수 있다. C = [v1, v2, ..., vn] 과 같이, 기저 B를 위한 기저행렬의 변화라고 한다. C[x]B = x [x]B = C-1x 이를 하나의 그림으로 나타낼 수 있다. 표준기저좌표에 x가 있다면, A를 곱하면 선형변환을 한 T(x)를 구할 수 있다. 표준기저좌표 x에 C-1을 곱하면, B에 대한 좌표 [x]B를 구할 수 있다. B에 대한 좌..

(1) 부분공간에 대한 정사영이 선형변환인 것을 증명하기 V를 Rn의 부분공간이라고 하자. V의 기저에는 {b1, b2, ..., bk}가 있게 될 것이고, k는 n개의 항을 갖는 열벡터이다. V의 원소 a가 있다면, 기저벡터를 활용하여 a = y1b1 +y2b2 + ... + ykbk의 형태로 나타낼 수 있다. 이를 식으로 표현해보면, nxk인 A = [b1, b2, ..., bk]이고, y = [y1, y2, ..., yk]일 때, Ay = a의 형태로 V의 원소 a를 표현할 수 있다. Rn의 원소 x가 있다면, x를 V에 정사영한 projVx는 정의에 따라서 V 상에 존재하게 된다. (앞 글 참조) 따라서, ProjVx = Ay의 형태로 표현할 수 있다. 그리고, 앞에서 정리한 바와 같이 x는 pr..

(1) 역변환은 선형변환일까? 변환 T가 있고, 가역적인 변환 T는 Rn -> Rn으로 사상한다. 그리고, T의 변환 행렬을 기약행사다리꼴행렬로 나타내면 n x n 단위행렬이 된다고 했다. 그러면, T의 역변환 T-1과 T의 합성함수가 In이고, T와 T-1의 합성함수가 In이다. 이러한 사실들을 알고 있는 상태에서, T-1이 선형변환인지 알아보고자 한다. 선형변환이 되기 위해서는, 덧셈에 닫혀있고 스칼라곱에 대해서 닫혀있다는 사실을 보이면 된다. T(x+y) = T(x) + T(y) T(cx) = cT(x) 를 역변환에서도 적용되는지 알아보자. (2) 역변환이 선형변환이라는 조건 증명. T∘T-1 = In T∘T-1(a+b) = a+b T∘T-1(a+b) = T∘T-1(a) + T∘T-1(b) T(T-..

(1) 선형변환이 합성되어도 선형변환일까? 선형변환이 합성되어도 여전히 선형변환인지 알아보자. 선형변환 S는 집합 X에서 집합 Y로 사상하는 변환으로, Rn을 Rm으로 사상한다. 선형변환 T는 집합 Y에서 집합 Z로 사상하는 변환으로, Rm을 Rl로 사상한다. 이를 그림으로 나타내보면, 위와 같이 그려볼 수 있다. T°S가 집합 X에서 Z로 사상하는 변환이라고 하면, T°S = T(S(x)) 라고 정의할 수 있다. 이 변환이 선형변환인지 알아보려면, 덧셈과 스칼라 곱에 닫혀있는지 확인해보면 된다. 1) 덧셈에 닫혀있나 T°S(x+y) = T(S(x+y))= T(S(x) + S(y)) -S는 선형변환이므로 덧셈에 닫혀있다= T(S(x)) + T(S(y)) - T는 선형변환이므로 덧셈에 닫혀있다 따라서, T..

(1) 단위벡터를 활용한 정사영 연산 간략화 이전 글에서 직선과 직선 위의 벡터 v, 임의의 벡터 x가 있을 때, 벡터 x를 정사영한 위치벡터를 구하는 방법을 알아봤다. 정사영 proj는 Rⁿ에서 Rⁿ으로 변환한다. proj(x) = {(x·v) / (v·v)} v v·v = ||v||² (자기 자신과의 내적은 길이의 제곱)으로 표현할 수 있기 때문에, proj(x) = {(x·v) / ||v||²} v 로 표현할 수도 있다. 길이가 1이라면 계산이 간단해지기 때문에, 길이가 1인 벡터(단위벡터)를 활용해서 정사영 계산을 좀 더 간단하게 해보자. 단위벡터를 구하는 방법은 벡터를 벡터의 길이로 나누면 된다. 예를 들면, v = [2 1] 이라면 길이인 √5로 나눈 [2/√5 1/√5]가 단위벡터 u가 된다..

(1) R3에서의 회전 이전 글에서 R2에 속한 아무 벡터를 회전시키는 변환에 대해 정리했다. 이번에는 범위를 넓여서 R3에서 회전하는 변환을 정리해볼 생각이다. 3차원에서의 회전을 3Rot(θ)라고 하고, 이는 R3에서 R3로 사상하는 변환이다. 이 때, x축을 중심으로 회전한다고 가정하자. y축, z 축을 중심으로 다른 각도에서 회전하는 것은 이걸 응용하면 된다. x, y, z축을 그리고, x축을 중심으로 회전하는 벡터를 분홍색으로 그려봤다. 3Rot(θ) = Ax라고 표현할 수 있고, A는 3x3 행렬이다. A라는 행렬을 찾으려면, 이전처럼 단위 행렬에 변환을 적용해서 표현해보자. R3의 기저 벡터 [1 0 0 ; 0 1 0; 0 0 1]의 각 열을 e1, e2, e3라고 할 수 있다. 그러면 A ..

(1) 회전변환은 선형변환인가? 이 글로 각도 θ로 회전변환을 하는 변환도 선형변환인지 알아보고, 어떻게 선형변환 행렬을 만들 수 있는지 알아보자. R2에서 R2로 회전하는 변환 Rotθ가 있다. 이 변환은 벡터 x를 반시계방향으로 θ만큼 회전시키는 변환이다. 이게 선형변환인지 알기 위해서는 두 가지 조건이 성립하는지 체크해보면 된다. 1) Rotθ(x+y) = Rotθ(x) + Rotθ(y) 인가? 왼쪽처럼 2차원 좌표를 그리고, 노란색으로 벡터 x, y를 그리고 초록색으로 x+y를 표현했다. 반시계방향으로 θ만큼 회전한 Rotθ(x)를 하늘색, Rotθ(y)를 파란색으로 나타내봤다. x+y를 θ만큼 회전한 Rotθ(x+y)도 하늘색으로 그려보면, Rotθ(x) + Rotθ(y)의 값과 일치한다. 따라..

(1) 스케일 변환과 반사 변환 이번에는 앞에서 계속 언급한 선형변환을 어떻게 설계해서 벡터들을 원하는 대로 만들 수 있는지 보여주는게 목적이다. 선형변환 T는 Rn에서 Rm으로 사상되는 변환으로 m × n 행렬 A와 벡터 x의 곱으로 표현할 수 있다. n×n인 단위 벡터 I는 e1, e2, ..., en과 같이 표준기저 열벡터로 표현할 수 있다. 그러면 A는 각 표준기저에 T 변환을 해준 것으로 표현할 수 있다. A = [T(e1), T(e2), ..., T(en)] R2에 (3,2), (-3, 2), (3, -2)라는 세 개의 위치 또는 위치벡터가 있고, 이 세 벡터를 활용하면 하나의 삼각형을 그릴 수 있다. 이 삼각형을 우리는 y축을 중심으로 반사하고(뒤집고), y 방향으로 삼각형을 2배로 늘리고 ..

(1) 선형변환의 합 이번의 내용은 매우 간단하다. 두 개의 선형변환이 있을 때, 이들을 더하거나 스칼라를 곱하면 어떻게 되는지 알아볼 것이다. 두개의 변환 S와 T가 있고, 둘 다 Rn에서 Rm으로 가는 변환이다. 합과 곱의 결론을 먼저 써보면, 두 변환들을 더하면, 벡터 x가 각각 변환된 두 벡터의 합과 같다. 식으로 표현하면, (S+T)(x) = S(x) + T(x) 이다. 이 역시 Rn에서 Rm으로 가는 변환이다. 임의의 변환에 스칼라 c배를 한 값은 x에 스칼라 c배를 해서 변환한 값과 같다. 식으로 표현하면, (cS)(x) = c(S(x)) 이다. 이 역시 Rn에서 Rm으로 가는 변환이다. 이를 증명해보자. S(x) = Ax, T(x) = Bx 라고 하자. A = [a1, a2, ..., an..