SInce 20180106

(1) 정규직교기저 활용해서 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 있을 때, 부분공간 V에 대해 Rn의 벡터 x의 정사영을 찾고 싶다면 projVx = AATx로 표현할 수 있다고 했다. A = [v1, v2, ..., vk] 이므로, 기저벡터를 열로 가지고 있는 행렬이다. V가 span([1/3, 2/3, 2/3], [2/3, 1/3, -2/3])의 공간이라고 하자. 두 벡터의 길이를 계산해보면 1이고, 서로 직교한다는 것을 알 수 있다. 따라서, v1, v2는 V의 정규직교기저이다. 부분공간은 R3의 평면이고, v1 v2가 정사영한다고 해보자. A가 v1, v2를 열벡터로 가지는 행렬로 만들어보자. A = [1/3, 2/3, 2/3; 2/3, 1/3, -2/3] projVx = AATx = 1/..

(1) 정규직교기저로 정사영 계산하기 저번 글에서 정규직교기저가 좋은 좌표계, 즉 좌표를 쉽게 알 수 있는 좌표계를 만드는 것을 보았다. 정규직교기저를 활용하면 유용한 다른 이유들에 대해서 알아보자. 어떤 부분공간 V가 Rn의 부분공간이고, B = {v1, v2, ..., vk}라는 V의 정규직교집합 B가 있다. x ∈ Rn 이면, x = v + w = projvx + w 와 같이 표현할 수 있었다. 이 때, v ∈ V 이고 w ∈ V⊥ 이다. (x는 V 상에 존재하는지 알 수 없다.) 기저 벡터들을 열로 가지고 있는 행렬 A가 있다고 하자. A = [v1, v2, ..., vk] 행렬이라면, x를 부분공간 V에 정사영한 벡터를 찾기 위해서 projVx = A(ATA)-1ATx 라는 식을 계산해야 했다...

(1) 정규직교기저에 대한 좌표 앞에서 정규직교기저가 무엇인지 알아보았다. 그러면 정규직교기저를 어떻게 활용하는지 알아보자. 정규직교기저의 여러 용도 중 하나로 정규직교기저는 좋은 좌표계 혹은 좋은 기저로 사용될 수 있다는 것이다. Rn의 표준 기저를 적어보면, Rn = {[1, ... 0], [0, 1, ..., .], ... , [0, ..., 1]} 과 같이 표현할 수 있다. 각 원소들은 길이가 1이고, 다른 원소와 내적하면 0이 되며, 자기 자신과 내적하면 1이 된다. B = {v1, v2, ..., vk} 와 같이 정규직교집합이 있다. B는 부분공간 V의 정규직교기저이다. B에는 k개의 기저 벡터가 있기 때문에, V는 k차원 부분공간이라는 것을 알 수 있다. B의 벡터들로 이루어진 좌표계를 좋은..

(1) x를 정사영한 벡터는 x와 부분공간이 가장 가까운 벡터 R3에 있는 평면 부분공간 V를 그려보면 위와 같다. 이 때, 파란색 벡터 x가 있고, x를 V에 정사영한 벡터가 부분공간의 벡터 중에서 x에 제일 가까운 벡터가 된다. x를 V에 정사영하면 연두색 벡터가 나오고, V에 있는 임의의 벡터 v를 핑크색으로 그려봤다. x와 projVx의 거리는 주황색벡터 a로 표현할 수 있고, x와 v의 거리는 자홍색벡터 x-v로 표현할 수 있다. V 상에 존재하는 projVx와 v의 거리는 노란색 벡터 b로 표현할 수 있다. 그림 상에서는 x - projVx가 x-v보다 짧아보이는데, 진짜 그런지 수식으로 계산해보자. x - projVx = a 이고, ||x-v||² = ||b+a||² = (b+a)⋅(b+a)..

(1) 부분공간에 대한 정사영이 선형변환인 것을 증명하기 V를 Rn의 부분공간이라고 하자. V의 기저에는 {b1, b2, ..., bk}가 있게 될 것이고, k는 n개의 항을 갖는 열벡터이다. V의 원소 a가 있다면, 기저벡터를 활용하여 a = y1b1 +y2b2 + ... + ykbk의 형태로 나타낼 수 있다. 이를 식으로 표현해보면, nxk인 A = [b1, b2, ..., bk]이고, y = [y1, y2, ..., yk]일 때, Ay = a의 형태로 V의 원소 a를 표현할 수 있다. Rn의 원소 x가 있다면, x를 V에 정사영한 projVx는 정의에 따라서 V 상에 존재하게 된다. (앞 글 참조) 따라서, ProjVx = Ay의 형태로 표현할 수 있다. 그리고, 앞에서 정리한 바와 같이 x는 pr..

(1) 부분공간에 대한 정사영(개요) 예전에 8-5에서 정사영에 대해서 간략하게 보고 넘어갔다. 그 때는 직선에 대한 정사영이었지만, 이번에는 부분공간에 대하여 정사영을 해볼 생각이다. 이전의 정사영에 대한 내용을 간단하게 다시 써보면, 직선 L은 벡터 v의 생성으로 만들 수 있는 직선이면서 부분공간으로 표현할 수 있다. 그리고 벡터 x가 있을 때, L에 정사영을 하게 되면 projL(x) = ((x·v)/(v·v))*v 로 구할 수 있었다. (v는 L의 생성벡터가 일반적.) 추가적으로 V가 Rn의 부분공간이라고 한다면, V의 직교여공간도 Rn의 부분공간이었다. 그리고 V와 V⊥의 합으로 Rn의 모든 원소를 표현할 수 있었다. 마지막으로 x를 V에 정사영하면 V 상에 존재했고, x를 V⊥에 정사영하면 V..

(1) V와 V의 직교여공간으로 Rn 표현하기 Rn의 부분집합은 부분공간 V가 있고, V의 직교여공간인 V⊥가 있고 이것 또한 Rn의 부분집합이다. 앞에서 정리한 것처럼 dim(V) + dim(V⊥) = n이다. 두 부분공간이 공통으로 가지는 벡터가 존재할까? x라는 벡터가 V와 V⊥의 원소라고 가정해보자. 둘이 직교하기 때문에 V에 속하는 모든 v에 대해서 x·v = 0 이고, x·x = 0 역시 성립한다. 자기 자신과의 내적은 길이의 제곱과 같기 때문에, ||x||²=0 이라는 의미이고, 이는 x = 0 일때만 성립한다. 따라서, V와 V⊥의 교집합 원소는 0이고, 이를 그림으로 그려보면 위와 같이 된다. dim(V) = k 라고 하면, dim(V⊥) = n-k 가 된다. 차원은 기저에 필요한 선형독..

(1) 4대 부분공간의 직교 14장에서는 직교보공간(직교여공간)에 대해서 알아보려고 하는데, 이에 앞서서 앞에서 다룬 부분공간들이 어떻게 수직이 되는지 알아보고 넘어가려고 한다. 일단 내적이 0인 두 벡터는 수직이다. 그리고, 어떤 부분공간에 속한 모든 벡터들이 다른 부분공간에 속한 벡터들과 모두 수직이라면, 두 부분공간은 수직이다. 예를 들어, 행공간과 영공간은 수직이다. (2) 행공간과 영공간 행공간과 영공간은 직교이다. 행렬 A의 행공간은 A의 행 벡터로 생성되고, 영공간은 Ax = 0을 만족하는 x로 생성된다. Ax = 0는 [row1; row2; ....; row m) x = [0; 0; ...; 0]을 만족시키려면, row1*x1 = 0 이 되므로, 모든 행 벡터와 x의 내적이 0이 되어야한다..

(1) 열공간 정의 앞에서는 영공간에 대해서 적었는데, 이제는 열공간에 대해서 적어보려고 한다. 일단 mxn의 행렬 A를 정의해보자. A는 [v1 v2 ... vn]과 같이 열벡터의 모음으로 다시 써볼 수 있다. 이 때, 열벡터는 n개만큼 있고, 각각의 열벡터는 m개의 성분을 가지는 m차원 공간의 원소이다. 열공간은 이 열벡터들의 모든 가능한 선형결합이라고 정의할 수 있다. 다시 말해 A의 열공간은 n개의 열벡터들로 가능한 모든 선형결합의 집합이라고 할 수 있다. 선형결합은 다른 말로 말하면 생성(Span)이기 때문에, A의 열공간(C(A))은 span(v1, v2, ... , vn)이 된다. 열공간이 부분공간인지 알아보자. 조건1) 0벡터를 포함하는가? (연두색) A의 열공간의 원소인 벡터 a가 있다고..

1. 선형부분공간(Linear Subspace) ℝ𝑛이 각 벡터가 n개의 성분을 가지고 있는 무한히 큰 벡터의 집합이라고 할 때, ℝ𝑛의 부분공간은 어떻게 정의할 수 있을까? 벡터의 집합 V는 특정한 벡터의 부분집합 ℝ𝑛의 부분집합(subset)이라고 정의하자. 그렇다면 ℝ𝑛과 V의 관계는 그림의 우측에 있는 것처럼 포함관계가 되게 될 것이다. 이 때, V는 한 부분이 될 수도 있고 ℝ𝑛 전체가 될 수도 있다. V가 부분공간이거나 ℝ𝑛의 선형 부분공간이라면 3가지 조건을 충족시켜야 한다. 조건 1) V가 영벡터를 포함한다. 영벡터에는 0뿐만 아니라 복수 개의 0이 있는 값 역시 포함한다. 조건 2) 스칼라와 벡터의 곱에 대해 닫혀있다. V가 어떤 벡터 x를 가지고 있다면, x에 임의의 스칼라 c를 곱했을..