6-5. 열공간(Column Space)

(1) 열공간 정의

 

앞에서는 영공간에 대해서 적었는데, 이제는 열공간에 대해서 적어보려고 한다.

 

일단 mxn의 행렬 A를 정의해보자.

 

A는 [v1 v2 ... vn]과 같이 열벡터의 모음으로 다시 써볼 수 있다.

 

이 때, 열벡터는 n개만큼 있고, 각각의 열벡터는 m개의 성분을 가지는 m차원 공간의 원소이다.

 

열공간은 이 열벡터들의 모든 가능한 선형결합이라고 정의할 수 있다.

 

다시 말해 A의 열공간은 n개의 열벡터들로 가능한 모든 선형결합의 집합이라고 할 수 있다.

 

선형결합은 다른 말로 말하면 생성(Span)이기 때문에, A의 열공간(C(A))은 span(v1, v2, ... , vn)이 된다.

 

열공간이 부분공간인지 알아보자.

 

조건1) 0벡터를 포함하는가? (연두색)

 

A의 열공간의 원소인 벡터 a가 있다고 하자.

 

a를 식으로 표현해보면, a = c1v1+c2v2+...+cnvn 이다.

 

c1~cn이 모두 0이라면 a가 영벡터가 된다.

 

따라서, 영벡터를 포함한다.

 

조건2) 곱셈 후에 닫혀있는가? (노란색)

 

a에 어떠한 스칼라s를 곱하면 생성에 포함되는지 알아보면 된다.

 

s×a = sc1v1+sc2v2+...+scnvn 이고,

 

이것 역시 열벡터의 선형결합이라고 볼 수 있다.

 

따라서, sa는 A의 열공간의 원소이다.

 

조건3) 덧셈에도 닫혀있는가? (하늘색)

 

a와 b 모두 열공간의 원소라고 가정해보자.

 

그렇다면 b는 b=b1v1+b2v2+...+bnvn 이라 할 수 있다.

 

a+b=(c1+b1)v1+(c2+b2)v2+...+(cn+bn)vn

 

과 같이 쓸 수 있고, 이는 분명히 벡터들의 또 다른 선형결합이다.

 

따라서, 덧셈에도 닫혀있다.

그러므로, A의 열공간은 유효한 부분공간이다.

 

 

(2) 열공간의 다른 해석

 

열공간을 해석할 수 있는 다른 방법을 생각해보자.

 

m×n의 행렬 A와 n차원의 공간에 속한 벡터 x를 곱한다고 해보자.

 

벡터 x는 [x1; x2; ...; xn] 으로 쓸 수 있고,

 

Ax는 Ax = x1v1+x2v2+...+xnvn 으로 쓸 수 있다.

 

"n차원의 임의의 벡터 x들로 만들 수 있는 Ax의 모든 가능한 결합" 을 만들 수 있다.

 

 

모든 가능한 Ax 결합의 집합을 다른 식으로 어떻게 표현할 수 있을까?

 

Ax = x1v1+x2v2+...+xnvn 이기 때문에,

 

{Ax | ...}을 {x1v1+x2v2+...+xnvn | ... }으로 바꿔서 써볼 수 있다.

 

이 때의 x1, x2, ...xn은 실수의 원소이므로 모두 실수 R의 원소라는 식으로 쓸 수 있다.

 

x의 성분들이 어떤 실수도 될 수 있기 때문에, 

 

계수들이 모두 실수인 이 열벡터의 가능한 모든 임의의 결합의 집합은 A 열벡터의 모든 가능한 선형결합이라고 볼 수 있다.

 

따라서, 가능한 Ax의 집합은 v1, v2, ... , vn의 생성과 같을 것이고, A의 열공간과도 같을 것이다.

 

열벡터들의 선형결합으로 만들 수 있는 벡터 집합, 혹은 이들의 생성인 열공간 A가 나타내는 의미는 뭘까?

 

다른 말로, Rn의 원소인 x가 있을 때 가능한 Ax의 값은 무엇인지 알 수 있다는 것이다.

 

Ax=b1

이라는 식을 풀어야 한다고 해보자.

 

만약, b1이 A의 열공간의 원소가 아니라는 것이 주어진다면, 이것은 무엇을 의미할까?

 

그 말은 곧 Ax는 b1의 값을 절대 가질 수 없다는 것을 의미한다.

 

왜냐하면 Ax는 A의 열공간의 모든 값들을 가지기 때문이다.

 

b1이 열공간에 속하지 않으므로, Ax가 생성할 수 있는 집합에 속하지 않고, Ax는 b1의 값을 가질 수 없게 된다.

 

그러므로 Ax=b1에는 해가 존재하지 않는다.

 

적어도 하나의 해가 있는 Ax=b2라는 식이 있다고 해보자.

 

이것은 하나 혹은 여러 개가 될 수 있는 특정한 x가 있다면, 이 식을 만족시킬 수 있을 거라는 뜻이다.

 

A에 어떤 x를 곱하면 b2의 값을 얻을 수 있을 것이고, 이는 b2가 A의 열공간의 원소라는 뜻이다.

 

이것이 열공간의 정의라고 할 수 있다.

 

열공간은 열벡터의 모든 선형결합이며,

 

다르게 해석하면,

 

Ax가 가질 수 있는 모든 값이다.

 

다음에는 열공간, 영공간, 행렬, 그리고 행렬과 벡터의 곱에 대한 내용들을 합쳐보도록 하겠다.