6-7. 열공간의 생성과 방정식

(1) 열공간의 생성과 방정식

 

앞에서 사용했던 식을 그대로 가져왔다.

 

행렬 A는 다음과 같다.

[ 1 1 1 1;

  2 1 4 3;

  3 4 1 2;]

 

{[1 2 3]과 [1 1 4]}는 A의 열공간의 기저라고 했고,

 

{[1 2 3], [1 1 4]}의 생성은 A의 열공간을 나타낸다.

 

 

x, y, z 축을 R3평면에 그려서, 3D 공간을 나타내자.

[1, 2, 3] 벡터를 표현하면 노란색, [1, 1, 4] 벡터를 표현하면 주황색이라고 할 수 있다.

 

그리고 열 공간은 이 두 벡터(기저)의 생성(선형결합)과 같으며, 선형결합식들은 핑크색 평면을 이룬다.

 

평면위의 위치벡터 x를 보라색으로 표현했다.

 

 

이 때의 핑크색 열공간의 방정식을 구해보는게 이번 글의 목적이다.

 

R3에서 열공간의 식(평면의 식)을 구하는 방법은 다양하다.

 

1) 법선벡터와 평면 위의 벡터의 내적값이 0이라는 것을 활용해서 구하는 방법

 

2) 열생성의 정의를 활용하여 평면 식 구하기

 

3) 법선벡터를 활용하여 평면의 방정식 구하기

 

 

(방법1) 

 

첫번째 방법부터 시도해보자.

 

평면 위의 위치벡터는 벡터 x - [1, 2, 3]벡터를 하여 구할 수 있으며, 이 벡터와 법선벡터의 내적값은 0이다.

 

그러면 어떻게 법선벡터를 구할까?

 

R3의 어떤 두 벡터의 외적을 구하면, 두 벡터의 법선벡터를 구할 수 있다고 했다.

 

따라서, [1, 2, 3]과 [1, 1, 4]의 외적 값으로 구한 법선벡터는 ([1, 2, 3], [1, 1,4])로 생성된 평면의 법선벡터와 동일하다.

 

법선 벡터 n은 [5, -1, -1]이 된다.

 

평면위의 벡터와 법선벡터를 내적해보자

 

법선벡터 [5, -1, -1]와 평면상의 벡터[x-1, y-2, z-3]의 내적은 0이고,

 

이 식을 풀어보면 5x-y-z=0가 된다.

 

R3안의 이 평면식이 바로 A의 열공간이다.

 

행열의 열공간은 부분공간이기 때문에, 영벡터를 포함해야한다.

 

5x-y-z=0는 [0, 0, 0]벡터를 포함하기 때문에 맞다.

 

 

 

(방법 2)

 

방법 1에서는 법선벡터가 두 기반벡터의 외적이고, 법선벡터와 평면 위 벡터의 내적이 0이라는 것을 이용해서 식을 구했다.

 

이제 이전과 완전히 다른 방법으로 같은 결과를 유도해보자.

 

방법 2에서는 열생성의 정의를 활용해서 식을 구해보겠다.

 

열생성으로 만들어지는 평면은 부분공간으로 원점을 지나기 때문에, 원점에서 시작하는 기저벡터들이 평면 위에 있게 된다.

 

열공간은 Rn의 원소인 x에 대해 Ax가 가질 수 있는 유효한 모든 값을 의미한다.
 

다른 방법으로 생각해본다면, 열공간은 Ax가 b이고 x가 Rn의 성분일 때 유효한 모든 b의 값을 말하기도 한다.

 

이것을 사용해보자.

 

b가 R3의 벡터 [x, y, z]라고 하자.

 

Ax = b 인 식을 풀기 위해, 첨가행렬을 만들고 기약행사다리꼴 행렬로 바꿔주면 노란색 행렬을 구할 수 있다.

 

이 때, 2x - y - z + 3x 가 0이거나 0이 아닐 것이다.

 

만약 0이라면 해가 무수히 많이 있을 것이고, 0이 아니라면 해가 하나도 없을 것이다.

 

그래서 이 식의 값은 0이 되어야 하고, 5x - y -z = 0 이라는 식을 구할 수 있다.

 

열생성의 정의를 활용하여 방법 1에서 구한 식과 같은 결과를 얻어냈다.

 

 

(방법 3)

 

기반벡터들은 자기자신들의 열공간에 존재한다.

 

따라서, 두 기반벡터의 외적으로 구한 법선벡터는 평면에 수직이다.

 

법선벡터가 [5, -1, -1]이므로 평면의 방정식은 5x -y -z = d 이고,

 

원점을 지나기 때문에 d = 0

 

즉, 5x - y -z = 0 이라는 식을 간단히 구할 수 있다.