6-6. 영공간과 열공간의 기저

(1) 열공간의 기저

이번에는 행렬, 영공간, 열공간, 선형독립을 결합해서 다뤄보도록 하겠다.

 

행렬 A가 있고, 이 행렬의 열공간과 영공간의 기저에 대해서 알아보자. (기저란 부분공간을 생성하는 선형독립한 벡터의 집합이다.)

 

A의 열공간은 span(열벡터)라고 할 수 있고, (연보라)

 

A의 영공간은 기약행사다리꼴의 영공간과 동일하다. (하늘색)

 

그리고, 만약 영공간이 영벡터만을 가진다면 A의 열벡터들은 선형독립이라고 했다.

 

그래서 우리는 열벡터가 선형독립인지 알기 위해 A의 영공간을 구하여 판별해보도록 하겠다.

 

기약행사다리꼴 형태의 행렬 A를 구하면, (초록색)

[ 1 0 3 2 ;

  0 1 -2 -1 ;

  0 0 0 0] 이 된다.

 

Ax = 0을 성립하는 x의 집합이 영공간이고, A의 영공간과 기약행사다리꼴 행렬의 영공간이 동일(노란색)하기 때문에

 

기약행사다리꼴(A) x = 0을 성립하는 x를 구해보자.

 

Ax를 풀어보면

 

x1 + 0x2 + 3x3 + 2x4 = 0

0x1 +  1x2 -2x3 -1x4 = 0

 

여기서 피벗변수는 x1과 x2이고, 자유변수는 x3과 x4 이다.

(기약행사다리꼴 행렬에서 1이면서 열에서 유일하게 0이 아닌 성분이 바로 피벗변수)

 

피벗변수를 자유변수로 표현하면

 

x1 =  -3x3  - 2x4

x2 = -2x3 + 1x4

 

N(A) = N(rref(A)) 이고,

 

N(A) = (Ax = 0 을 만족하는 x의 집합) 이고,

 

x = [x1; x2; x3; x4] 이므로,

 

x를 자유변수(x3, x4)에 대한 식으로 다시 써보면,

 

x3*[-3; 2; 1; 0] + x4*[-2; 1; 0; 1] 이다.

 

x3과 x4는 어떤 실수이든 상관없기 때문에

 

N(A) = span( [-3; 2; 1; 0], [-2; 1; 0; 1]) 이라고 할 수 있다.

 

 

 

본론으로 돌아와서, 행렬 A의 열들이 선형독립일까?

 

이전의 글에서 언급했듯이,

 

선형독립은 Ax=0에서 x가 영벡터라는 하나의 해만을 가지는 경우에만 가능하며, 따라서 N(A) = 0 만이 가능하다.

 

앞에서 우리가 구한 A의 영공간(노란색)을 다시 보면 영벡터만을 포함하지 않는다.

 

A의 영공간은 두 벡터의 모든 선형결합 벡터를 포함하기 때문에, 무한한 갯수의 벡터를 포함한다.

 

즉, N(A)는 하나의 해가 아닌 무한개의 해가 존재한다는 것이다.

 

결론적으로 N(A)는 선형종속이다.

 

 

행렬 A의 열공간의 유효한 기저(basis)일까?

 

기저란 부분공간을 생성하는 선형독립한 벡터집합이다.

 

영공간에 무수한 해가 존재하기 때문에, 우리는 열벡터들이 선형독립이 아니라는 사실을 알고 있다.

 

이것을 통해 우리는 열벡터들이 A의 열공간의 기저가 아니라는 것을 알 수 있다.

 

열벡터들이 행열 A의 열공간을 생성하기는 하지만 이것들이 기저가 될수는 없다.

그러면 열공간의 기저를 찾아보자.

 

기저를 찾기 위해서는 우선 중복벡터를 없애야 한다.

x1*[1, 2, 3] + x2*[1, 1, 4] + x3*[1, 4, 1] + x4*[1, 3, 2] = 0 이라는 사실을 우리는 알고 있다.

 

x1 =  -3x3  - 2x4

x2 = -2x3 + 1x4 이고,

 

x3 = 0, x4 = -1을 대입해보면, x1 = 2, x2 = -1이 되며,

 

2*[1, 2, 3] -1*[1, 1, 4] = [1, 3, 2] 로 표현할 수 있다.

 

즉, [1, 2, 3]와 [1, 1, 4]이 있으면 [1, 3, 2]를 만들 수 있다는 것이다.

 

 

x3 = -1, x4 = 0을 대입해보면, x1 = 3, x2 = -2이 되며,

 

3*[1, 2, 3] -2*[1, 1, 4] = [1, 4, 1] 로 표현할 수 있다.

 

즉, [1, 2, 3]와 [1, 1, 4]이 있으면 [1, 4, 1]를 만들 수 있다는 것이다.

 

 

따라서, C(A) = span(v1, v2, v3, v4) 에서 v3, v4는 중복되는 벡터이기 때문에, 

 

C(A) = span(v1, v2) 라는 형태로 표현할 수 있다.

 

실수 c * v1으로는 v2를 만들 수 없기 때문에, v1과 v2이 C(A)의 기저라고 할 수 있다.
 

 

[1, 2, 3]와 [1, 1, 4]는 C(A)의 기저가 되며,

 

C(A) = span([1, 2, 3]와 [1, 1, 4]) 이라고 표현할 수 있다.

 

 

 

 

앞의 흐름을 간략하게 정리하자면, 

 

1) 열공간의 기저를 구하기 앞서서, 행렬의 영공간을 구해서 열벡터들이 선형독립인지 알아본다.

 

2) 열벡터의 선형독립/선형종속을 확인해서 선형종속인 경우 중복벡터를 제거하여 기저를 구한다.

 

    이 때, 기약행사다리꼴행렬의 피벗변수가 있는 열은 놔두고, 자유변수가 있는 열은 중복이므로 삭제했다.