6-4. 영공간과 선형독립

(1) 영공간과 선형독립

 

m개의 행과 n개의 열로 이루어져 있는 행렬 A가 있다.

이번에는 A의 열벡터의 선형독립과 선형종속을 A의 영공간과 연관지어 보겠다.

 

A에는 n개의 열이 있고, 각 열은 m차원의 벡터로 이뤄져있다.

 

A의 각 열을 v1, v2, ..., vn이라고 할 수 있다.

 

그러면 m×n인 행렬 A를 열벡터들의 행렬로 바꿔 쓸 수 있다.

 

A의 영공간이 뭔지 다시 적어보면, 영공간은 n차원 공간의 벡터 중에서 Ax = 0을 만드는 x벡터의 집합을 말한다.

그러므로 열벡터로 표현한 행렬 A를 어떠한 벡터 x와 곱하면, m개의 0을 갖는 영벡터가 나오게 될 것이다.

 

행렬의 곱을 풀어주면, x1v1+x2v2+...+xnvn=0 이 된다.

 

이 식은 선형독립에서 봤던 식과 동일하다.

 

x1v1+x2v2+...+xnvn=0 에서

 

x1, x2, ... , xn이 모두 0일 경우에만 선형독립한다고 했다.

 

또한, 선형독립이면 x1, x2, ... , xn이 모두 0이 된다고 했다.

 

그리고, x1, x2, ... , xn이 모두 0일 경우에는 N(A)은 영벡터만을 해로 갖는다.

 

N(A)은 영벡터만을 해로 갖는다면, x1, x2, ... , xn이 모두 0이라는 의미이며, v1, v2, ..., vn은 선형독립한다고 할 수 있다.

 

반대로, N(A)가 0외의 다른 값을 해로 갖는다면, x1, x2, ..., xn이 모두 0이 아니라는 의미이고, v1, v2, ..., vn은 선형종속이다.