6-3. 영공간 구하기(연산)

(1) 영공간 계산해서 구하기

 

지난번에 영공간의 이론적인 의미로 영공간이 하나의 부분공간이라는 걸 증명했다.

 

간략하게 앞 내용을 정리하면, 영공간은 행렬과 곱했을 때 영벡터가 나오는 모든 벡터의 집합이다.

 

이번에는 영공간을 구해보겠다.

 

위와 같이 3x4 행렬 A [1 1 1 1; 1 2 3 4; 4 3 2 1]가 있고, A에 곱해서 영벡터를 만드는 벡터 x가 있다고 하자.

 

벡터 x는 [x1, x2, x3, x4]이고, R4에 속해있는 벡터이다.

따라서, N(A)는 R4에 속해있으면서, Ax = 영벡터를 성립하는 벡터들의 집합이다.

 

(N은 Null Space의 N을 의미함)

 

Ax = 영벡터 라는 식을 풀어보자.

1 × x1 + 1 × x2 + 1 × x3 + 1 × x4 = 0

1 × x1 + 2 × x2 + 3 × x3 + 4 × x4 = 0

4 × x1 + 3 × x2 + 2 × x3 + x4 = 0

위 세 식을 만족하는 해가 바로 영공간이다.

방정식 3개와 미지수 4개인 식을 풀기 위해, 식을 첨가행렬꼴로 나타낸 다음 기약행사다리꼴로 바꿔보자.

 

첨가행렬은

[1 1 1 1 | 0

 1 2 3 4 | 0

 4 3 2 1 |0 ] 이다

 

여기서 기약사다리꼴행렬로 바꾸기 위해서, 첫 행은 놔두고, 두번째 행 - 첫번째 행, 첫번째 행의 4배 - 세번째 행을 하자.

 

[1 1 1 1 | 0

 0 1 2 3 | 0

 0 1 2 3 | 0] 이 되고,

 

이 식에서 첫번째 행 - 세번째 행, 두번재 행은 그대로, 세번째행 - 두번째 행을 하면,

 

[1 0 -1 -2 | 0

 0 1 2 3 | 0

 0 0 0 0 | 0]이라는 기약사다리꼴행렬을 구할 수 있다.

 

이를 다시 식으로 표현해보면,

 

x1 - x3 - 2x4 = 0

 

x2 + 2·x3 + 3·x4 = 0

 

라는 두 식을 얻을 수 있다.

이 방정식을 x1과 x2에 대해 풀면,

 

x1 = x3 + 2·x4

x2 = -2·x3 - 3·x2 

 

 

x1과 x2에 대한 두 식을 다시 표현해보면,

 

[x1; x2; x3; x4] = x3·[1; -2; 1; 0] + x4·[2; -3; 0; 1] 이 된다.

 

따라서, 방정식 Ax = 0을 만족시키는 R4에 있는 모든 벡터는 이 두 열벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

x3와 x4는 무작위 스칼라값이기 때문에, x3나 x4 자리에는 그 어떤 실수가 와도 상관없다.

 

두 열벡터의 일차결합이라는 것을 두 열벡터의 생성(span)이라고 할 수 있다.

 

A의 영공간, 즉, N(A)는 방정식의 해의 생성 집합이다.

 

그리고, A의 기약행사다리꼴행렬 rref(A) · x = 0 을 만족하는 모든 x 해의 집합이기도 하다.