5-2. 기약행사다리꼴 행렬을 활용하여 연립방정식 풀기(해가 없음)

(1) 기약행사다리꼴 행렬을 활용하여, 연립방정식의 해가 없음

 

위와 같이 네 개의 변수로 이뤄진 세 개의 선형방정식들이 있다.

 

앞에 글에서처럼 변수보다 식의 수가 적기 때문에, 답을 못 풀 가능성이 높다.

 

혹은 무수히 많은 해를 갖거나, 아예 해가 없을 수 도 있다.

 

위의 식을 확대행렬로 만들어보자.

 

[ 1 2 1 1 | 8 ]

[ 1 2 2 1 | 12]

[ 2 4 0 6 | 4] 가 된다.

 

여기서 선두계수가 1이 되도록 하기 위해서

 

첫 행은 그대로 두고,

 

두번째 행에서 첫번 째 행을 뺀 것으로 두번째 행을 대체하고,

 

세번째 행에서 첫번째 행에 2를 곱한 것을 뺀 값으로 세번째 행을 대체하자.

 

[ 1 2 1 1 | 8 ]

[ 0 0 1 -2 | 4]

[ 0 0 -2 4 | 12] 가 된다.

 

이 행렬을 기약행사다리꼴 행렬으로 만들어보자.

 

기준이 되는 항목은 항상 계수 1을 가지고, 이것이 열에서 유일한 0이 아닌 항목이어야 한다.

 

첫 번째 행에서 두 번째 행을 뺀 것으로 첫번째 행을 대체하고,

 

두번째 행은 그대로,

 

세번째 행에서 두번 째 행에 2를 곱하여 더한것으로 세번째 행을 대체하면,

 

[1 2 0 3 | 4]

[0 0 1 -2 | 4]

[0 0 0 0 | -4] 가 된다.

 

이를 다시 수식으로 바꿔주면,

 

x₁ + 2x₂ + 3x₄ = 4
x₃ - 2x₄ = 4

0 = -4 가 된다.

 

0과 -4는 같을 수 없기 때문에, 세 개의 연립방정식의 교점, 즉 세 식을 모두 만족하는 답을 찾는 것은 불가능하다는 것으로 해석할 수 있다.

 

 

 

4차원의 공간을 시각화하기는 힘들기 때문에, 3차원 공간이라고 상상해보자.

 

만약 3차원의 공간에 두 개의 평면(한 개의 평면과 그에 완전히 평행한 평면이 한 개)이 있다고 가정해보자.

 

그림은 위와 같이 될 것이고, 두 평면의 식은

3x+6y+9z=5
3x+6y+9z=2

라고 해보자.

 

이 두 평면들은 절대 직교하지 않을 것이다. (해가 없다)

 

왜냐하면 이 식은 기울기는 같지만, 높이가 다른 평면식이기 때문이다.

 

일반적으로 세 개의 변수가 있는 두 개의 식이 있으면 대부분 무한한 해가 있다고 생각할 가능성이 높다.

 

하지만 위와 같이 두 개의 평행한 식이 있다면, 그 둘은 교차하지 않을 것이다.

 

그러므로, 기약행사다리꼴행렬 혹은 단순 소거법을 사용하여 연립 방정식을 풀 때, 0이 어떤 수와 같다는 식에 도달하게 되면 해가 없다고 할 수 있다.

 

일반적으로 4차원의 공간에서 식이 4개인 초록색 행렬이 [a b c d]와 같은 값을 갖는다면 유일한 해가 존재한다.

 

하지만, 기약행사다리꼴 행렬에서 식이 3개이라면, 마지막 행의 결과에서 0 = 0이라는 결과가 나오면 해가 무수히 많고 0 = a라는 결과가 나오면 해가 없다고 보면 된다.