5-1. 기약행사다리꼴 행렬을 활용하여 연립방정식 풀기(해가 무수히 많음)

(1) 행 사다리꼴 행렬을 활용하여, 변수가 4개인 3차연립방정식 풀기

 

 

4개의 미지수가 있는 3차연립방정식이 위와 같이 있다.

 

미지수는 4개지만 식이 3개밖에 없기 때문에, 해가 무수히 많게 될 것이다.

 

4차원 공간에서 위와 같은 상황이라면, 해는 3차원 평면으로 제한될 수 있다.

 

만약 3차원 공간에서 위와 같은 상황이면, 해는 2차원 선으로 제한될 것이다.

 

이 글에서는 위의 과정을 행렬을 활용하여 푸는 과정을 설명하고자 한다.

 

위의 식을 계수행렬로 만들면, 선형방정식 좌변에 있는 계수들과 해로 나타내면 된다.(노란색 계수행렬)

 

연립방정식의 해를 구하기 위해 기약행사다리꼴 행렬을 만들어보도록 하겠다.

 

기약행사다리꼴 행렬(Reduced Row Echelon form, rref)이란

 

1. 각 행의 선두 성분이 1이다.

2. 각 행의 선두 성분이 나타나는 열에는 그 행을 제외하고는 모든 성분이 0이다.

 

라는 두 조건을 만족시키는 행렬을 말한다.

 

1행은 그대로 놔둔 행, 1행에서 2행을 뺀 행, 3행의 1/2에서 2행을 뺀 행의 행렬을 만들면

 

[ [1 2 1 1 | 7],

  [0 0 -1 2 | -5],

  [0 0 -2 4 | -10]] 이라는 행렬을 구할 수 있다.

 

먼저 할 것은 이 선행계수들을 1로 바꾸는 것입니다

 

첫번째 행의 1은 두 조건을 만족하므로 패스.

 

두번째 행은 -1을 곱해주도록 하자.

 

그리고 세번째 행에 두번째 행을 2를 곱해준 식을 만들어서 세번째 행을 대체해주자.

 

 

그러면 위와 같이

 

[ [1 2 1 1 | 7],

  [0 0 1 -2 | 5],

  [0 0 0 0 | 0]] 이라는 행렬을 구할 수 있다.

 

그러면, 기약행사다리꼴 행렬의 두 조건을 만족하는 기약행사다리꼴(rref)을 구했다.

 

여기서 1인 성분을 피벗성분(pivot entry)이라고 한다.

 

피벗성분은 각 열에서 유일하게 0이 아닌 성분을 말한다.

 

맨 마지막은 0으로 된 행이 있는데, 일반적으로 이 행이 기약행사다리꼴에서 마지막 행이 되곤 한다.

 

피벗성분에는 항상 1이 들어가야 한다. 2나 5와 같은 값은 이 자리에 들어올 수 없다.

모든 선행성분은 1이어야 한다.

 

그리고, 두번째 행의 1은 첫번째 행의 1보다 오른쪽에 있는데, 이는 관습적인 표현이라고 할 수  있다.

 

기약행사다리꼴 행렬을 다시 식으로 표현해주자.

 

그러면 

x₁ + 2x₂ + 3x₄ = 2 
x₃ - 2x₄ = 5
이 된다.

 

피벗성분과 관련된 변수는 피벗변수라고 한다.

 

위 식에서는 x₁과 x₃이 피벗변수이다.

 

그리고 피벗성분과 관련이 없는 변수는 자유변수라고 한다.

 

위 식에서는 x₂와 x₄가 자유변수이다.

 

위 식을 피벗변수에 대해서 정리해보면,

 

x₃ = 5 + 2x₄

 

x₁ = 2 - 2x₂ - 3x₄

 

이 식들에서 피벗변수를 구하기 위해, 자유변수는 어떠한 값이든 선택할 수 있다.

 

x₃을 구하기 위해서 x₂와 x₄에 어떤 값이든 넣을 수 있다는 뜻이다.

 

위에서 구한 해를 벡터 형태로 다시 정리해보면,

 

x₁ = 2 - 2x₂ - 3x₄

x₂ = x₂ 

x₃ = 5 + 2x₄
x₄ = x₄

 

이것은 R4의 위치 벡터, 또는 R4의 좌표로 볼 수 있다.

 

맨 우측의 [2, 0, 5, 0]이 해집합에 있다는 사실(x₂=0, x₄=0 일때)을 알 수 있으며, 이 점은 명백히 4차원상에 있다.

 

그리고, 여기서 x₂의 계수 [-2 1 0 0]를 벡터 a라고 표현하고

 

x₄의 계수 [-3 0 2 1]을 벡터 b라고 표현해보자.

 

그렇다면, 점 (2, 0, 5, 0)을 포함하는 벡터 a와 b의 선형결합이 해집합이라는 사실 역시 알 수 있다.

 

벡터 a와 b가 선형결합으로 생성할 수 있는 해집합은 평면이다. (벡터가 두개이기 때문)

 

따라서 4개의 미지수를 가진 3개의 방정식의 해는 R4 상의 평면이다.