4-10. 평면방정식과 법선 벡터

(1) 평면 방정식(Equation of a plane)과 법선벡터(Normal vector)

 

 

 

이번 내용에서는 면에 관한 방정식이 주어졌을 때 법선벡터를 구하는 방법이다.

 

일단, 3차원 공간에 한 면이 있다고 가정하자.

 

이 면은 한정된 면이 아니라 모든 방향으로 계속해서 진행하는 면이다.

 

이 면에 대한 법선벡터(자홍색) n은 ai+bj+ck라는 식으로 표현될 수 있다.

 

이 법선벡터는 면 위에 존재하는 다른 벡터들과도 수직할 것이다.

 

면에 어떠한 점 (xp, yp, zp)가 있다고 해보자.

 

그렇다면 이 점에 대한 위치벡터 P1은 xpi+ypj+zpk로 표현될 것이다.

 

면 상의 임의의 다른 점을 (x, y, z)라 해보자.

이 점에 대한 위치벡터 P는 xi+yj+zk 로 표현할 수 있다.

 

이렇게 두 점과 벡터들을 정의한 이유는 면 위에 존재하는 어떠한 점과 면 위에 존재하는 또 다른 점이 주어졌을 때, 확실히 면 위에 존재하는 벡터를 찾을 수 있기 때문이다.

 

앞에서 면의 방정식을 구할 때 거쳤던 과정과 동일하다.

 

노란색 벡터(P)에서 초록색 벡터(P1)를 뺀다면 두 점을 잇는 파란색 벡터가 생성된다.

 

면 위에 존재하는 이 벡터는 p-p1 이다. 

 

파란색 벡터가 면 위에 존재하기 때문에, 붉은색 벡터와 내적하면 0이어야만 한다.

 

왜냐하면, 붉은색 벡터는 면 위에 존재하는 모든 것과 수직하기 때문이다.

 

 

 

앞에서 했던 과정을 수식을 통해 나타내보자.

 

파란색 벡터는 p-p1이고, (x-xp)i+(y-yp)j+(z-zp)k 로 표현할 수 있다.

 

파란색 벡터와 빨간색 벡터는 수직이기 때문에 내적의 값은 0이고,

 

ax-axp+by-byp+cz-czp=0 이 된다.

 

axp+byp+czp = ax+by+cz 이다.

면에 관한 방정식 Ax+By+Cz=D가 주어질 때, 법선벡터를 어떻게 찾을 수 있을까?

 

이 Ax+By+Cz는 위에서 봤던 것과 완전히 유사하다.

ax+by+cz = axp+byp+czp 이고,

 

법선벡터의 a, b, c는  단순한 숫자 값이다.

따라서 a = A, b = B, c = C 이다.

 

그러니까 면의 방정식이 주어졌을 때, 이 면에 대한 법선벡터는 ai+bj+ck 가 될 것입니다

아주 쉽고 간단하다.

 

 

위와 같은 면의 방정식이 주어질 때, 법선벡터를 구해보자.

 

-3x+√2y+7z=π

 

에서 각 상수만 가져오면 된다.

 

따라서, 법선벡터는 -3i+√2j+7k 이다.

 

이 때, d 부분은 상관하지 않아도 된다.

 

왜냐하면 d는 면을 이동시키기는 해도 면이 기울어진 정도에는 아무 영향도 주지 않기 때문이다.

 

그러므로 이 법선벡터는 d가 e이어도, 100이어도 모든 면에 수직했을 것이다.

 

면의 위치가 바뀌더라도 같은 기울기를 갖고 있다면, 같은 방향을 가르키고, 법선벡터 또한 같은 방향을 가르킨다.

 

다음번에는 이를 기반으로 3차원에서 어떠한 면과 임의의 점 사이의 거리(최단거리)를 구하는 방법을 정리해보도록 하겠다.