4-8. 외적과 내적의 비교 및 직관적 이해

(1) 내적의 직관적 이해

 

지난 내용들에서 0이 아닌 벡터 a, b의 내적이 ||a||||b||cosθ와 같다고 했다.

 

a와 b를 노란색 화살표로 그려보고, 그 사잇각을 θ라 해보자.

 

aㆍb = ||a||||b|| cosθ 이므로,

 

양변을 ||a||||b||로 나눠주고, 아크코사인을 취한다면,

 

θ=arccos(aㆍb / ||a||||b||)이 된다.

 

만약 임의의 두 벡터가 주어진다면, 몇차원이든지 위 식을 계산하면 두 벡터간의 사잇각 θ을 구할 수 있다.

 

그리고 3차원 공간에서 두 벡터의 외적 식에서 ||a×b|| = ||a||||b||sinθ 를 알고 있다.

 

위의 두 식을 활용해서, 내적과 외적을 직관적으로 이해해보는게 이 글의 목표이다.

 

벡터 a와 b를 초록색으로 그려보자.

 

이 때, ||a|| ||b||cosθ의 값은 무엇일까?

 

벡터 a에서 벡터 b로 수선의 발을 그려본다면, 삼각함수를 성립하는 자홍색 인접변(adjacent)을 구할 수 있다.

 

 

cosθ = 인접변 / ||a||

 

위 식이 성립한다.

 

그렇다면, ||a|| ||b||cosθ = ||a||*||b||*(인접변 / ||a||) = ||b||*인접변 이 된다.

 

따라서, aㆍb = ||b|| * 이웃한 변 임을 알 수 있다.

 

 

이게 무엇을 의미하는지 알아보자.

 

||b|| * 이웃한 변 은 (벡터 b의 길이)와 (벡터 b와 같은 방향으로 나아가는 벡터 a의 크기)만큼을 곱해준다는 것이다.

 

이것을 벡터 a의 정사영을 곱한다고 볼 수 있다.

 

정사영(Orthogonal projection)는 간단히 정의하면, 만약 햇빛이 위에서 내리쬐고 있다면 벡터 a는 벡터 b 위로 그림자가 생길 것이다.

 

만약 이 두 벡터가 같은 방향을 가리키고 있다고 한다면, 정사영된 벡터 a는 벡터 b와 같은 방향으로 상당히 겹치게 된다.

 

즉, 벡터 a가 벡터 b와 동일한 방향으로 진행되는 부분(자홍색 인접변)이 더 커질수록, 이것은 더 큰 내적 값을 갖게 된다.

 

왜냐하면 내적은 얼마나 두 벡터가 같은 방향을 향하고 있는지가 중요하기 때문이다.

 

만약에 두 벡터가 서로 거의 수직하는 경우라면 어떨까?

 

벡터 a와 벡터 b를 초록색으로 그려보면, 이웃한 변의 방향을 벡터 b로 정의하고 직각삼각형을 만들면 이웃한 변은 매우 작게 된다.

 

벡터 a와 b가 아무리 클지라도 방향성의 공통점이 거의 없으므로 내적 값은 매우 작게 된다.

 

 

핵심은 내적은 얼마나 두 벡터가 같은 방향을 향하고 있는지 말해준다는 것이며, 같은 방향을 향하는 벡터 길이의 곱과 같다는 것이다.

 

그리고 두 벡터가 서로 수직일 때를 노란색으로 그려보자.

 

두 벡터가 수직일 때, aㆍb = 0 이다.

 

이것을 위의 개념과 같이 생각해보면, 벡터의 내적이 무엇인지 직관적으로 알 수 있다.

 

벡터 a의 정사영은 아무것도 나타낼 수 없다.

 

또는 위에서 빛을 내린다고 하면 벡터 a의 b위로의 그림자는 없다.

 

따라서, 벡터 a의 어느 일부도 벡터 b와 같은 방향이 없기 때문에, 내적값이 0이라고 생각할 수 있다.

 

 

(2) 외적의 직관적 이해

 

이제 벡터의 외적을 생각해보자.

||a×b|| = ||a||*||b||*sinθ 이며, 주황색으로 벡터 a와 b를 그려보자.

 

벡터 a에서 b로 수직인 선을 내린다면, 삼각함수 sinθ는 높이/빗변이 된다.

 

빗변은 ||a||이기 때문에, ||a||||b||sinθ = ||b||* 높이 가 된다.

 

높이는 벡터 a가 수직한 정도를 나타낸다고 할 수 있다.

 

즉, 외적은 얼마나 두 벡터가 수직인지를 확인하는 것이다. (내적은 얼마나 두 벡터가 동일 선상에 있는지(collinear) 확인하는 것이다.)

 

sin90의 값이 1 이기 때문에, 이 경우가 외적의 최댓값이 된다. (sinθ는 항상 1보다 같거나 작기 때문에, sinθ의 최댓값은 1이다.)

 

두 벡터가 완벽히 수직일 때, 외적 값은 최댓값이 된다.

 

내적의 ||a||||b||cosθ로 돌아가보면, θ가 0일 때 cosθ의 값이 1이므로 내적값이 최대가 된다.

 

즉,  두 벡터가 동일선상에 있을 때이다.

 

따라서 같은 방향을 향하는 두 벡터가 있을 때 내적이 최대가 되며, 외적은 그들이 수직일 때 최대가 된다.

 

마지막으로 다시 한번 정리해보면, 두 벡터가 동일선상에 있다면 내적값은 최대가 되고 외적값은 0이 된다.

 

두 벡터가 수직한다면 내적값은 0이 되고 외적값은 최대가 된다.

 

단순히 공식과 정의만을 사용하면, 내적과 외적이 진짜로 의미하는 것을 잊어버릴 수 있으므로 기억하면 좋을 내용이다.

 

 

(3) 외적과 평행사변형

 

외적에는 또다른 해석이 존재한다.

 

벡터 a와 b로 이뤄진 평행사변형의 넓이를 구하려면 어떻게 해야할까?

 

a에서 b로 수선을 내려보면, 빨간색 선은 b에 수직하고 높이를 의미한다.

 

그러면 이 평행사변형의 넓이는 벡터 b의 길이에 높이를 곱한 것이 된다.

 

이 때, 높이는 ||a||*sinθ이다.

 

(sinθ = 높이 / 빗변이기 때문)

 

평행사변형의 넓이가 ||a||||b||sinθ와 같다는 뜻이고, 이는 두 벡터의 외적의 크기와 같다.

 

일단 외적을 계산하면 세번째 벡터를 구할 수 있고, 이 세번째 벡터의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같다.