4-6. 벡터의 외적

(1) 벡터의 외적 (Cross Product)

 

한줄 요약 : 외적은 두 벡터와 직교하는 벡터값이다.

 

 

 이전에는 계속 내적에 대한 내용이었는데, 이제는 외적에 대한 내용을 추가해보려고 한다.

 

내적은 어느 차원에서든지 정의가 되어있어서, Rn에 있는 어느 벡터든지 내적값을 구할 수 있었다.

 

하지만 외적은 오직 R3에서만 정의가 된다.

 

내적의 결과는 스칼라였지만, 외적의 결과는 벡터가 된다는 점 역시 다르다.

 

R3에 존재하는 벡터 a를 [a₁, a₂, a₃]라고 하고, 벡터 b를 [b₁, b₂, b₃]라고 하자.

 

그렇다면, a x b(외적)는 [a₂ × b₃ - a₃ × b₂,  a₃ × b₁ - a₁ × b₃, a₁ × b₂ - a₃ × b₂]가 된다.

 

서로 교차하여 계산한다고 생각하면 된다.

예를 들어, 벡터 [1, -7, 1]를 벡터 [5, 2, 4]와 외적하면, [-7 × 4 - 1 × 2, 1 × 5 - 1 × 4, 1 x 2 - (-7) x 5] = [-30, 1, 37]이 된다.

 

외적값은 어디에 사용될까?

 

외적값은 외적을 취하는 두 벡터와 직교한다는 점을 활용한다.

 

 

이전 포스팅에서 정리한 바와 같이, 두 벡터가 있으면 두 벡터에 의한 평면을 정의할 수 있다.

 

벡터 a와 벡터 b가 R3에서 하늘색 평면(두 벡터의 모든 선형결합)을 정의한다면, a x b를 한다면 나오는 벡터는 직교하는 벡터를 얻을 수 있다.

 

벡터의 방향은 오른손의 법칙을 이용하면, 시각적으로 방향을 알아낼 수 있다.

 

오른손의 검지가 a, 중지가 b라고 하면, 엄지의 방향이 외적 벡터의 방향이라고 할 수 있다.

 

a x b가 a와 b랑 직교한다는 것은 외적값과 벡터의 내적이 0이라는 것을 의미한다.

 

이 때, 영벡터도 포함한다. (직교와 수직의 차이는 직교에 영벡터도 포함한다는 사실이다.)

 

a x b(외적값)이 a와 직교한다는 것을 보기 위해서, 직접 내적을 해보자.

 

[a₂ × b₃ - a₃ × b₂,  a₃ × b₁ - a₁ × b₃, a₁ × b₂ - a₂ × b₁]와 [a₁, a₂, a₃]를 내적해보면,

 

= a₁ × a₂ × b₃ - a₁ × a₃ × b₂ + a₂ × a₃ × b₁ - a₂ × a₁ × b₃ + a₃ × a₁ × b₂ - a₃ × a₂ × b₁ 

 

= 0

 

이것이 a와 외적값이 직교한다는 것을 보여준다.

 

벡터 b 역시 마찬가지이다.

 

a x b(외적값)이 b와 직교한다는 것을 보기 위해서, 직접 내적을 해보자.

 

[a₂ × b₃ - a₃ × b₂,  a₃ × b₁ - a₁ × b₃, a₁ × b₂ - a₂ × b₁]와 [b₁, b₂, b₃]를 내적해보면,

 

= b₁ × a₂ × b₃ - b₁ × a₃ × b₂ + b₂ × a₃ × b₁ - b₂ × a₁ × b₃ + b₃ × a₁ × b₂ - b₃ × a₂ × b₁ 

 

= 0

 

이것이 b와 외적값이 직교한다는 것을 보여준다.