(1) 벡터의 외적과 사인값의 관계
이번에는 외적의 정의와 Sin값 사이의 관계에 대해서 알아보도록 하겠다.
영벡터가 아닌 두 벡터의 내적에 대해서 aㆍb = ││a││×││b││ x cosθ가 성립한다고 했다. (θ는 두 벡터 사이의 각도)
두 벡터의 외적에 대해서 ||a x b|| = ||a|| × ||b|| x sinθ 가 성립한다. (θ는 두 벡터 사이의 각도)
내적은 cos이고 외적은 sin이다.
일단, 외적은 R3에서만 정의된다.
따라서, 벡터 a를 [a1, a2, a3], 벡터 b를 [b1, b2, b3]라고 가정하자.
그러면 두 벡터의 외적은 [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]이 된다.
벡터의 길이의 제곱은 자기 자신을 내적한 값이므로, X₁ ~ Xn까지 각각의 제곱을 모두 더한 것과 같다.
||a×b||를 제곱하면, [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]이 자기 자신과 내적한 값과 같고,
이는 (a₂b₃-a₃b₂)² + (a₃b₁-a₁b₃)² + (a₁b₂-a₂b₁)²과 같다.
이 식을 풀어보면, (a₂²b₃² -2a₂a₃b₂b₃ + a₃²b₂²) + (a₃²b₁² -2a₁a₃b₁b₃ + a₁²b₃²) + (a₁²b₂² -2a₁a₂b₁b₂ + a₂²b₁²) 이다.
a₁², a₂², a₃²의 제곱들로 묶어주자.
즉, ||a×b||² = a₁²(b₂²+b₃²) + a₂²(b₁²+b₃²) + a₃²(b₁²+b₂²) -2(a₂a₃b₂b₃ + a₁a₃b₁b₃ + a₁a₂b₁b₂) 가 된다.
||a|| x ||b|| x cosθ = aㆍb = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ 이다.
위 식의 양변을 제곱해보면, ||a||² x ||b||² x cos²θ = (aㆍb)² = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)² 이다.
(a₁²b₁² + a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃) + (a₁a₂b₁b₂ + a₂²b₂² + a₂a₃b₂b₃) + (a₁a₃b₁b₃ + a₂a₃b₂b₃ + a₃²b₃²)
= a₁²b₁² + a₂²b₂² + a₃²b₃² +2(a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃ + a₂a₃b₂b₃)
여기서 한가지 사실을 발견할 수 있다.
(aㆍb)²을 전개했을 때, +2(a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃ + a₂a₃b₂b₃)를 얻고
│a×b│²를 전개했을 때 -2(a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃ + a₂a₃b₂b₃)를 얻는다는 점이다.
위에서 발견한 사실을 이용하기 위해서, 외적한 값의 길이의 제곱과 내적한 값의 제곱을 더해보도록 하자.
||a×b||² + (aㆍb)²
= ||a×b||² + ||a||² × ||b||² x cos²θ
= a₁²(b₂²+b₃²) + a₂²(b₁²+b₃²) + a₃²(b₁²+b₂²) -2(a₂a₃b₂b₃ + a₁a₃b₁b₃ + a₁a₂b₁b₂) + a₁²b₁² + a₂²b₂² + a₃²b₃² +2(a₁a₂b₁b₂ + a₁a₃b₁b₃ + a₂a₃b₂b₃)
= a₁²(b₁³ + b₂² + b₃²) + a₂²(b₁² + b₂² + b₃²) + a₃²(b₁² + b₂² + b₃²)
= (b₁² + b₂² + b₃²)(a₁² + a₂² + a₃²)
= (bㆍb 또는 ||b||²)(aㆍa 또는 ||a||²)
||a×b||² + ||a||² × ||b||² x cos²θ = ||b||² x ||a||² 에서
||a||² × ||b||² x cos²θ을 우항으로 넘겨주면,
||a×b||² = ||b||² x ||a||² - ||a||² × ||b||² x cos²θ
||a×b||² = ||a||² × ||b||² (1 - cos²θ) = ||a||² × ||b||² x sin²θ
(왜냐하면 기본 삼각항수 공식인 sinc²θ + cos²θ =1 이기 때문)
양변에 루트를 씌워주면, ||a×b|| = ||a|| × ||b|| x sinθ
요약하자면, R3에 존재하는 두 벡터가 있고,
외적한 벡터의 길이 제곱과 내적의 제곱을 더해준 값은
각 벡터의 길이 제곱의 곱과 같다.
이 식을 정리하면, 외적의 길이는 각 벡터의 길이 곱에 sin값을 곱해준 값과 같다.
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