SInce 20180106

(1) 영공간과 Ax=b의 거리 앞에서 정리한 내용을 요약해보면 영공간(N(A))를 그려보고, 이와 직교여공간인 N(A)⊥를 표현해보았다. N(A)⊥ = C(AT) = R(A) 이다. R(A)에 Ax=b를 만족하는 해가 1개 존재하며, 이것이 가장 작은 x가 된다. 이 과정을 실제 값을 가지고 해보자. A = [3, -2; 6, -4] b= [9; 18]이다. N(A)를 구하고, Ax=b의 해집합을 구하고, N(A)⊥를 구한 다음, N(A)⊥의 원소이면서 x의 해인 값(최단 벡터)을 구해보자. 1. N(A)구하기. N(A)는 N(rref(A))와 같기 때문에, rref형태로 변환하여 영공간을 구해보자. N(rref(A))에서 x1 = 2/3t x2 = t 라는 결과를 얻을 수 있다. 따라서, N(A) =..

(1) 영공간의 직교보공간(직교여공간) 행렬 A가 있다. 이전 글에서 행공간은 열공간의 전치와 같다고 했다. 따라서, C(AT) = R(A)라고 할 수 있따. 그리고 C(AT)⊥ = N(A) 와 같다고 했다. 또한, C(A)⊥ = N(AT) (열공간의 직교여공간은 좌영공간과 같다) 14-5에서 다룬 것처럼 ⊥의 ⊥는 원래의 행렬로 돌아오기 때문에, 영공간의 직교여공간은 어떻게 될까? N(A)⊥ = (C(AT)⊥)⊥ = C(AT). 즉, A 영공간의 직교보공간은 A의 전치의 열공간과 같다. 좌영공간의 직교여공간은 어떻게 될까? N(AT)⊥ = (C(A)⊥)⊥ = C(A) 즉, A 좌영공간의 직교보공간은 A의 열공간과 같다. 정리하자면, N(A) = R(A)⊥ 이고, R(A) = N(A)⊥ 이다. N(AT)..

(1) 4대 부분공간의 직교 14장에서는 직교보공간(직교여공간)에 대해서 알아보려고 하는데, 이에 앞서서 앞에서 다룬 부분공간들이 어떻게 수직이 되는지 알아보고 넘어가려고 한다. 일단 내적이 0인 두 벡터는 수직이다. 그리고, 어떤 부분공간에 속한 모든 벡터들이 다른 부분공간에 속한 벡터들과 모두 수직이라면, 두 부분공간은 수직이다. 예를 들어, 행공간과 영공간은 수직이다. (2) 행공간과 영공간 행공간과 영공간은 직교이다. 행렬 A의 행공간은 A의 행 벡터로 생성되고, 영공간은 Ax = 0을 만족하는 x로 생성된다. Ax = 0는 [row1; row2; ....; row m) x = [0; 0; ...; 0]을 만족시키려면, row1*x1 = 0 이 되므로, 모든 행 벡터와 x의 내적이 0이 되어야한다..

(1) 행렬의 열공간, 영공간 이번 글에서는 전치행렬의 열공간과 영공간(혹은 좌영공간)에 대해서 알아볼 것인데, 행렬의 열공간과 영공간을 간단하게 구해보면서 시작하자. 2x3행렬 A = [2 -1 3; -4 2 6] 이 있다. 열공간 C(A) = span([2, -4], [-1, 2], [-3, 6])이고, 세 열벡터는 선형종속이기 때문에 C(A) = span([2, -4]) 이다. 행렬의 계수(Rank)는 행공간 또는 열공간의 차원을 말한다. 따라서, Rank(A) = 1이다. 행렬 A의 영공간을 구해보자. N(A) = {Ax=0}를 만족하는 A의 집합을 의미한다. Ax = 0을 구하기 위해서, 기약행사다리꼴 첨가행렬을 위와 같이 만들어서 계산해보자. 그러면 pivot 열이 1개가 되며, x1 = 0...

(1) 부분공간과 부분공간의 변환 집합 V가 Rn의 부분 공간이라고 해보자. 부분공간이라는 의미는 V에 속하는 벡터 a와 b가 있을 때, 두 벡터의 합도 V에 속하고(덧셈에 닫혀있음) 벡터의 스칼러 곱도 V에 속한다(스칼라 곱에 닫혀있음)는 의미이다. 그리고 영벡터 역시 V에 포함된다. 임의의 변환 T가 있고, 이 변환은 Rn을 Rm으로 이동시키는 함수이다. 이 부분공간 V를 변환시키면 어떻게 될까? 변환된 결과를 V의 상이라고 말하며, V의 상은 T에 속해 있다. 이해를 돕기 위해 간단한 변환(R2 -> R2)이 있고, 변환의 결과로 우측의 그림처럼 노란색 삼각형을 변환하여 길쭉한 보라색 삼각형이 나온다고 하자. 그러면 보라색 삼각형은 T에 대한 노란색 삼각형의 상(이미지)이라고 할 수 있다. 이 삼각..

(1) 열공간의 차원(랭크) 이전에는 행렬의 열공간은 생각보다 구하기 단순하다는 것을 볼 수 있었다. A의 열공간은 A의 열벡터들의 선형결합식과 같고, 열벡터들의 생성이다. 그래서 우선 열벡터들을 각각 a1, a2, a3, a4, a5로 불러보자. 그러면 A의 열공간은 span(a1, a2, a3, a4, a5)과 같다고 할 수 있다. 우리가 이번에 알고 싶은 것은 열벡터들이 열공간의 기저가 되는지이다. A의 열벡터의 기저 = C(A)를 생성하는 벡터 이다. 기저 벡터들은 모두 선형독립이여야 한다. 그래서 우선은 A를 기약행사다리꼴로 만들어서, 피벗벡터와 자유벡터를 구해보자. 기약행사다리꼴 R은 [1, 0, -1, 0, 4 0, 1, 2, 0, 1 0, 0, 0, 1, -3 0, 0, 0, 0, 0] 이..

(1) 열공간의 생성과 방정식 앞에서 사용했던 식을 그대로 가져왔다. 행렬 A는 다음과 같다. [ 1 1 1 1; 2 1 4 3; 3 4 1 2;] {[1 2 3]과 [1 1 4]}는 A의 열공간의 기저라고 했고, {[1 2 3], [1 1 4]}의 생성은 A의 열공간을 나타낸다. x, y, z 축을 R3평면에 그려서, 3D 공간을 나타내자. [1, 2, 3] 벡터를 표현하면 노란색, [1, 1, 4] 벡터를 표현하면 주황색이라고 할 수 있다. 그리고 열 공간은 이 두 벡터(기저)의 생성(선형결합)과 같으며, 선형결합식들은 핑크색 평면을 이룬다. 평면위의 위치벡터 x를 보라색으로 표현했다. 이 때의 핑크색 열공간의 방정식을 구해보는게 이번 글의 목적이다. R3에서 열공간의 식(평면의 식)을 구하는 방법은..

(1) 열공간의 기저 이번에는 행렬, 영공간, 열공간, 선형독립을 결합해서 다뤄보도록 하겠다. 행렬 A가 있고, 이 행렬의 열공간과 영공간의 기저에 대해서 알아보자. (기저란 부분공간을 생성하는 선형독립한 벡터의 집합이다.) A의 열공간은 span(열벡터)라고 할 수 있고, (연보라) A의 영공간은 기약행사다리꼴의 영공간과 동일하다. (하늘색) 그리고, 만약 영공간이 영벡터만을 가진다면 A의 열벡터들은 선형독립이라고 했다. 그래서 우리는 열벡터가 선형독립인지 알기 위해 A의 영공간을 구하여 판별해보도록 하겠다. 기약행사다리꼴 형태의 행렬 A를 구하면, (초록색) [ 1 0 3 2 ; 0 1 -2 -1 ; 0 0 0 0] 이 된다. Ax = 0을 성립하는 x의 집합이 영공간이고, A의 영공간과 기약행사다리..

(1) 열공간 정의 앞에서는 영공간에 대해서 적었는데, 이제는 열공간에 대해서 적어보려고 한다. 일단 mxn의 행렬 A를 정의해보자. A는 [v1 v2 ... vn]과 같이 열벡터의 모음으로 다시 써볼 수 있다. 이 때, 열벡터는 n개만큼 있고, 각각의 열벡터는 m개의 성분을 가지는 m차원 공간의 원소이다. 열공간은 이 열벡터들의 모든 가능한 선형결합이라고 정의할 수 있다. 다시 말해 A의 열공간은 n개의 열벡터들로 가능한 모든 선형결합의 집합이라고 할 수 있다. 선형결합은 다른 말로 말하면 생성(Span)이기 때문에, A의 열공간(C(A))은 span(v1, v2, ... , vn)이 된다. 열공간이 부분공간인지 알아보자. 조건1) 0벡터를 포함하는가? (연두색) A의 열공간의 원소인 벡터 a가 있다고..