13-1. 전치행렬의 열공간, 영공간, 좌영공간

(1) 행렬의 열공간, 영공간

이번 글에서는 전치행렬의 열공간과 영공간(혹은 좌영공간)에 대해서 알아볼 것인데, 행렬의 열공간과 영공간을 간단하게 구해보면서 시작하자.

 

2x3행렬 A = [2 -1 3; -4 2 6] 이 있다.

 

열공간 C(A) = span([2, -4], [-1, 2], [-3, 6])이고,

 

세 열벡터는 선형종속이기 때문에

 

C(A) = span([2, -4]) 이다.

 

행렬의 계수(Rank)는 행공간 또는 열공간의 차원을 말한다.

 

따라서, Rank(A) = 1이다.

 

행렬 A의 영공간을 구해보자.

 

N(A) = {Ax=0}를 만족하는 A의 집합을 의미한다.

 

Ax = 0을 구하기 위해서, 기약행사다리꼴 첨가행렬을 위와 같이 만들어서 계산해보자.

 

그러면 pivot 열이 1개가 되며, x1 = 0.5x2 + 1.5x3를 만족하는 x가 된다.

 

 

그러면 N(A) = span([1/2, 1, 0], [3/2, 0, 1])이 된다.

 

 

(2) 전치행렬의 열공간, 좌영공간

A의 전치행렬 At가 있다.

 

At의 영공간을 구하기 위해 기약행사다리꼴을 구해보면, rref(At) = [1 -2; 0 0; 0 0] 이다.

 

x1 -2x2 = 0 이므로, N(At) = span([2 1])이다.

 

그리고 At의 열공간은 span([2 -1 3])이 된다.

 

A의 전치행렬의 열공간은 사실 A의 행공간과 동일하다.

 

왜냐하면 전치라는 것이 열과 행을 바꾼 것이기 때문에, A의 행이 At의 열이기 때문이다.

 

전치행렬의 영공간은 어떻게 부를 수 있을까?

 

Atx = 0 을 만족하는 x가 영공간인데,

 

양변을 전치해보면

 

xtA = 0 이 된다.

 

따라서, N(At) = {Atx = 0} = {xtA = 0} 을 만족하는 x의 집합이라고 할 수 있다.

 

여기서, xt는 A의 좌측에 있기 때문에, A의 좌영공간이라고 하기도 한다.

 

보통의 영공간에서는 x가 오른쪽에 있지만, 전치행렬의 특성을 이용하여 전치행렬의 영공간을 구하면 전치벡터가 A의 왼쪽에서 곱해진다.

 

그래서 좌영공간이라고 부른다. (영공간이랑은 다르다)

 

 

그리고 앞에서 구한 것처럼, At의 영공간은 A의 좌영공간과 같다고 할 수 있다.

 

Atx = 0 과 xtA = 0 이 동일한 결과를 갖기 때문이다.

 

그런데 잘 생각해보면 특이한 점이 있다.

 

A의 좌영공간은 R2의 직선에 있는데, 영공간은 R3에 있다는 것이다.

 

그리고, A의 행공간은 R3에 있지만, 열공간은 R2의 직선이다.

 

이 둘의 상관관계는 다음의 글에서 알아보자.

 

 

앞에서 계수를 구했을 때, Rank(A) = 1 이었다.

 

왜냐하면, 기약행사다리꼴로 바꿨을 때 피봇 열이 1개만 존재했기 때문이다. (= 기저벡터가 1개)

 

At의 계수는 어떻게 될까?

 

At의 열공간이 1개였기 때문에, Rank(At) 역시 1이 될 것이다.

 

왜 그러는지 생각해보면, 전치했기 때문이다.

 

At의 선형독립한 열벡터는 1개였기 때문에, 열벡터의 기저 역시 1이다.

 

At의 계수를 찾으려면 피벗 열의 개수를 알아보거나 피벗 성분의 개수를 찾으면 된다.

 

전치벡터의 계수를 찾으려면 선형독립인 열의 개수를 찾으면 된다.

 

즉, 행렬에서 몇 개의 행이 선형독립인지 찾아보면 된다는 말과 같다.

 

 

이 예시에서는 2x3 행렬이다 보니, 조금 헷갈릴 수 있지만 행렬의 행이 전치행렬의 열이고, 행공간의 rank가 열공간의 rank가 된다고 생각하면 될 것 같다.

 

그리고 A의 좌영공간은 At의 영공간과 동일하다.