SInce 20180106

(1) 앞의 내용 총 정리 지난 번의 내용을 간단하게 복습, 요약정리하고 예제를 적용해보자. Rn에서 Rn으로 사상하는 선형변환 T가 있다면, 표준좌표의 임의의 벡터 x에 A를 곱한 것이라고 나타낼 수 있다. 그리고, Rn의 기저 집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이 있다. 그러면 n개의 선형독립하는 벡터가 있고, 이들을 비표준 기저라고도 할 수 있다. C = [v1, v2, ..., vn] 과 같이, 기저 B를 위한 기저행렬의 변화라고 한다. C[x]B = x [x]B = C-1x 이를 하나의 그림으로 나타낼 수 있다. 표준기저좌표에 x가 있다면, A를 곱하면 선형변환을 한 T(x)를 구할 수 있다. 표준기저좌표 x에 C-1을 곱하면, B에 대한 좌표 [x]B를 구할 수 있다. B에 대한 좌..

(1) 기저의 변환행렬 Rn에서 Rn으로의 사상(mapping)인 선형변환 T가 있다고 하자. 좌표는 여러 개의 좌표계에서 표현될 수 있지만, 여기서의 x는 표준기저좌표에서 표현되는 것이라고 생각하자. 그러면 T(x) = Ax 이고, A는 표준기저에 관해서 변환 T를 위한 변환행렬이 된다. 이 때, 기저집합 B = {v1, v2, ..., vn} 이고, B가 Rn의 기저라고 한다면 [T(x)]B = D[x]B 와 같이 표현할 수 있고, D는 기저 B에 관하여 변환 T를 위한 변환행렬이 된다. 이전에 했던 것과 같이 C = [v1, v2, ..., vn] 이라고 하자. 그러면 C[x]B = x [x]B = C-1x 가 성립한다. [T(x)]B = D[x]B 에서 D[x]B = [T(x)]B = [Ax]B ..

(1) 기저변환행렬의 가역성 이전 글과 같이 B = {v1, v2, ..., vk} 인 기저벡터 집합이라고 하자. 그리고 n x k의 기저변환행렬 C가 있다. 벡터 a를 B에 대하여 나타내면, 기저변환행렬의 곱 형태로 나타낼 수 있었다. C [a]B = a 기저변환행렬 C에 역행렬이 존재한다고 가정해보자. 그러면, C는 정사각행렬로 k = n인 n개의 n차원 기저벡터의 형태로 표현할 수 있게 된다. 그리고, 선형독립이게 된다. (열벡터가 부분공간의 기저를 이루기 때문이다) 만약 C가 가역적일 때, B의 생성(span)을 구해보면 Rn이 된다. (역행렬이 존재한다면 기저벡터의 선형결합을 이용하여 Rn의 어떤 벡터라도 만들 수 있기 때문) 반대로 만약 B의 생성이 Rn일 때, C는 가역적이라는 것도 성립한다..

(1) 기저변환행렬 기저집합 B = {v1, v2, ..., vk}가 있다고 해보자. 벡터 a를 B에 대하여 표현해보면, [a]B = [c1, c2, ..., ck] 이다. a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk의 선형결합 형태로 표현할 수 있다. 이 때, n x k의 행렬 c = [v1, v2, ..., vk]로 표현할 수 있다. C를 기저변환행렬이라고 한다. 기저변환행렬에 [a]B를 곱하면, a가 나오게 된다. 이것을 활용하면, a가 무엇이냐는 질문에 대해 간단하게 C를 기저벡터에 곱해서 표준좌표 a를 구할 수 있다. 반대로, [a]B가 무엇이냐는 질문에 대해서도 C를 활용하여, B에 대한 a의 좌표인 [a]B를 구할 수도 있다. 이렇게, 임의의 기저에 대한 좌표로 표현된 벡터에서 표준좌..

(1) 기저에 대한 좌표 Rn의 부분공간 V가 있고, B는 V의 기저라고 하자. a∈V라고 할 때, a는 기저벡터들의 선형결합의 형태로 표현할 수 있다. a = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk 만약, 기저벡터들을 그래프의 축이라고 생각해본다면, 벡터 a를 기저 집합 B에 대한 좌표들로 쓸 수도 있다. 이를 수식으로 표현해보면 [a]B = [c1, c2, ..., ck] 와 같이 괄호안에 써서 B라는 기저집합에 대해 표현할 수 있다. 여기서 V가 n차원의 부분공간인데 왜 B가 k차원인지 궁금할 수도 있다. 예를 들어서 생각해보면 간단하다. R3라는 공간에 부분공간은 2차원 평면일 수도 있고, 3차원일 수도 있다. 따라서, k는 n보다 작은 값이 되게 된다. 그래야 a라는 벡터가 Rn의 원소이더..