SInce 20180106

1. 선형종속 증명 선형종속을 만족하는 벡터들의 집합 S의 원소에 v1, v2, ..., vn까지 있다고 하자. 필요충분조건(iff, if and only if, 초록색 양방향 화살표)으로서 c1·v1+...+cn·vn = 0 을 만족시킨다면 선형종속이라고 할 수 있으며, 선형종속을 만족시킨다면 c1·v1+...+cn·vn = 0 이라고 할 수 있다. 이 때의 상수 c1, c2, ... cn에서 어떤 ci는 0이 아니다. 즉, 상수 c 중에서 0이 아닌 것이 최소한 1개는 존재한다는 의미이다. 이를 증명해보자. 선형종속을 만족하는 v1, v2, ... , vn이 있다. 선형종속이라면 한 벡터는 다른 벡터들의 합으로 표현될 수 있다고 가정하자. 수식으로 표현하면 v1 = a2v2 + a3v3 + ... +..

1. 선형종속(Linearly Dependent) & 선형독립(Linearly Independent) Span{ (2,3), (4,6) }이 있을 때, 두 벡터로 생성할 수 있는 모든 벡터는 무엇일까? (2,3)과 (4,6)은 한 직선 위에 있기 때문에, Span{ c*(2,3) }과 같이 표현할 수 있다. 즉, 첫 번째 벡터의 스칼라곱으로 간단히 나타낼 수 있다. R²상에서 생성할 수 있는 벡터는 직선뿐이다. 이러한 것을 보고 선형종속이라고 한다. 어떤 벡터를 선택하든 새로운 방향이나 정보가 없기 때문에, 크기만 커질 뿐 동일한 방향으로 진행하며 직선을 벗어나는 새로운 차원이 주어지지 않는다. R³공간에서 동일선상에 없는 벡터a와 또 다른 벡터b가 있으면 2차원 공간을 정의하게 된다. 이 평면이 노란색..

1. 선형결합(Linear Combination) 선형대수학 전반에서 등장하는 선형결합에 대해서 알아보겠다. 벡터의 선형결합이라는 것은 말 그대로 벡터들을 단순히 다 더하는 것이다. n차원 상의 벡터가 m개만큼 존재할 때, v1~vm까지 임의의 상수를 곱해서 더하는 것이다. 구체적인 예시를 들어보면 아래와 같다. 벡터 a는 (1,2), 벡터 b는 (0,3)이라고 한다면, 임의의 c1과 c2를 곱해서 새로운 벡터를 만들어 낼 수 있다. 이렇게 만들어진 벡터들을 R²위에 표현하면, 어떤 벡터든 a와 b의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 결론적으로 Span(a, b)는 R²라고 할 수 있다. 하지만, 어떤 두 벡터가 있더라도 R²의 모든 벡터를 나타낼 수 있는 것은 아니다. a와 b가 영벡터이거나, 동일한 직선..

1. 단위벡터(Unit Vectors) 벡터 v가 2-튜플 (2, 3)이라고 한다면, 이를 어떻게 단위벡터를 활용하여 표현할 수 있을까요? 그러기 위해 일단은 단위벡터를 정의해본다면, 단위 벡터는 길이가 '1'인 벡터이다. 단위 벡터는 종종 알파벳 위에 곡절부호(circumflex)를 쓰고, '햇'이라고 읽는다. v^로 표기되며, '브이 햇'(v hat)으로 읽는다. 단위벡터 i는 수평방향으로 1단위만큼만 움직이는 벡터라고 하고, 단위벡터 j는 수직방향으로 1단위만큼만 움직이는 벡터라고 정의한다면 어떤 2차원 벡터든지 간에 i와 j의 합으로 표현할 수 있다. 벡터 v는 (2, 3)이기 때문에, 2i^ + 3j^으로 표현될 수 있다. (-1, 4)인 벡터 b는 -1i^ + 4j^으로 표현될 수 있다. 벡터..

1. 벡터란 벡터는 크기와 방향을 동시에 나타내는 것이다. 예를 들어 어떤 물체가 시속 5마일로 움직인다고 하면, 이는 벡터가 아니라 스칼라이다. 즉, 단지 크기(속력)은 벡터가 될 수 없다. 방향을 가져서 시속 5마일의 속력으로 동쪽으로 움직이고 있다(속도)고 말해야 벡터가 될 수 있다. 선형대수의 장점은 2차원 뿐만 아니라, 3, 4, 5차원, 6차원 이상으로 원하는 만큼 확장할 수 있고, 상상하기 어려운 3차원 이상을 수학적으로는 표현하여 쉽게 다룰 수 있다는 점이다. 아까의 예로 다시 돌아와서, 시속 5마일+동쪽을 그래프에서 표현하는 방법은 5의 크기를 가지는 화살표를 그리는 것이다. 여기 표현된 크기는 단위마다 시간당 속력을 나타내며, 방향은 오른쪽(동쪽)을 향합니다 그리고 벡터에서 재밌는 점은..