7-5. 변환의 상 im(T)

(1) 부분공간과 부분공간의 변환

 

 

집합 V가 Rn의 부분 공간이라고 해보자.

 

부분공간이라는 의미는 V에 속하는 벡터 a와 b가 있을 때,

 

두 벡터의 합도 V에 속하고(덧셈에 닫혀있음)

 

벡터의 스칼러 곱도 V에 속한다(스칼라 곱에 닫혀있음)는 의미이다.

 

그리고 영벡터 역시 V에 포함된다.

 

임의의 변환 T가 있고, 이 변환은 Rn을 Rm으로 이동시키는 함수이다.

 

이 부분공간 V를 변환시키면 어떻게 될까?

 

변환된 결과를  V의 상이라고 말하며, V의 상은 T에 속해 있다.

 

이해를 돕기 위해 간단한 변환(R2 -> R2)이 있고, 변환의 결과로 우측의 그림처럼 노란색 삼각형을 변환하여 길쭉한 보라색 삼각형이 나온다고 하자.

 

그러면 보라색 삼각형은 T에 대한 노란색 삼각형의 상(이미지)이라고 할 수 있다.

 

이 삼각형들은 부분공간이 아니지만, 부분공간을 변환하면 그 상들은 어떻게 되는지 아는 것이 이 글의 목표이다.

 

V의 T에 대한 상이 부분공간인지 알아보자.

 

 

 

V에 속하는 벡터 a와 b를 변환한 결과는 V를 변환한 집합의 원소이다.

 

T(V)가 부분공간인지 알기 위해서는, 덧셈에 닫혀있는지 스칼라곱에 닫혀있는지 영벡터를 포함하는지 확인하면 된다.

 

T(a+b)도 T(V)에 속하는가?

 

a+b는 V의 원소이기 때문에, T(a+b)는 T(V)의 원소이다. 

 

따라서 덧셈에 닫혀있다.

 

T(ca)도 T(V)에 속하는가?

 

ca는 V의 원소이기 대문에, T(ca)는 T(V)의 원소이다.

 

그리고 c가 0이면 cT(a) = 0T(a) = 0 이므로, 영벡터도 T(V)에 포함된다.

 

따라서, T(V)는 부분공간이다. (= V의 T에 대한 상은 부분공간이다)

 

Rn 전체를 변환한다고 가정해보자.

 

그렇다면 T(Rn)은 Rn의 T에 대한 상이고, {T(x) | x∈Rn} 이라고 표현할 수 있다. (Rn에 포함되는 x들이 변환된 집합)

 

앞에서 T는 Rn을 Rm으로 변환해주는 함수라고 했다.

 

그러면 Rn을 정의역(domain), Rm을 공역(co-domain)이라고 할 수 있고,

 

이를 그림으로 표현해보면 주황색 T(Rn)이 치역(range)라고 할 수 있다.

 

이 때, T(Rn)을 im(T), image(T)라고 표현하기도 한다. (T의 상)

 

 

T의 상이 뭘까?

 

T는 Rn부터 Rm으로 가기 때문에, 이것은 어떤 m×n 행렬을 벡터 x와 곱한 것이라고 볼 수 있다.

 

그럼 Rn의 T에 대한 상은 뭘까?

 

그것은 T의 상이랑 똑같다. (Rn이 변환된다는 것은 T에 들어갈 수 있는 모든 x가 변환된다는 의미이기 때문이다)

 

im(T)는 뭘까?

 

이건 모든 x의 변환의 집합이고, 모든 x의 변환은 Ax라고도 할 수 있다.

 

행렬 A를 a1, a2와 같은 열벡터들로 표현해주고, Rn의 원소 x를 x1, x2 ... xn까지 a랑 곱해주자.

 

이건 여러번 해본  x1×a1+x2×a2+...+xn×an 이라는 값이 나온다.

 

이 때, 모든 x는 모든 실수 스칼라이고, 이 모든 것들의 집합은 본질적으로 a의 열들의 선형결합이다.

 

이 것은 앞에서 말한 바와 같이 A의 열공간 C(A)와 같다.

 

정리하자면, 모든 선형변환은 행렬의 벡터적으로 표현할 수 있다.

 

모든 정의역의 원소들을 공역으로 사상하면 이건 선형변환의 상이다.

 

그리고 행렬의 열공간으로 변환을 표현할 수 있다.

 

T의 상인 im(T)는 열공간과 같고, 열공간은 행렬의 열벡터들의 생성인 span(a1, a2, ..., an)이다.