7-4. 선분의 변환

(1) 선분의 변환

 

R2 상에 3개의 위치벡터,  x0 = [-2, -2], x1 = [-2, 2], x2 = [2,-2]가 있다고 하자.

 

x0와 x1 사이의 선분 L0는 x0에서 x1과 x0의 차이만큼 더해준 것이다.

 

L0 = {

x0 + t(x1 - x0)}이고, t는 0과 1사이의 값이다.

 

왜냐하면, t가 해당 범위를 넘어가면 x0와 x1을 넘어서 더 긴 선분이 나오기 때문이다. 만약 t가 실수 전체가 된다면, x=-2라는 세로선 전체가 L0가 될 수 있다.

 

x1과 x2 사이의 선분 L1 = {x1 + t(x2 - x1)} 이고, t는 0과 1사이의 값이다.

 

x2와 x3 사이의 선분 L2 = {x2 + t(x0 - x2)} 이고, t는 0과 1사이의 값이다.

 

세 개의 선분으로 이뤄진 집합을 S라고 해보면, 우측과 같이 노란색 삼각형을 그릴 수 있다.

 

이 집합에 선형 변환을 취해주면 어떤 일이 일어날까?

 

간단한 변환 T는 [1, -1; 2, 0;]과 임의의 x와 곱해주는 변환이라고 정의하자.

 

우리가 구한 삼각형이 변환을 거치면 어떻게 될지 알아보자.

 

T(L0)를 해보자.

 

L0 = {x0 + t(x1 - x0)}

 

T(L0)

= {T(x0 + t(x1 - x)) }

= {T(x0) + T(t(x1 - x0)) }

=  {T(x0) + tT(x1 - x0) }

 

(사진에서는 -가 되어있는데, 잘못 기재됐다. +가 맞다.)

 

다른 선분도 변환이 가능하지만, 일단 벡터값부터 먼저 변환을 해보자.

 

T(x0) = [0; -4]

T(x1) = [-4; -4]

T(x2) = [4; 4]

 

각 위치벡터를 좌표상에 표현하고, 각 벡터들 사이의 선분을 그려보았다.

 

T(L0)는 노란색

T(L1), T(L2)는 보라색으로 표현했다.

 

이 때의 모든 t값은 여전히 0~1 사이이다.

 

이를 통해서 알 수 있는 것은 모든 선분들의 변환된 값들을 안 구해도 된다는 것이다.

 

간단하게 종점들이 어디인지 알아내고, 이것의 변환된 점들을 연결하는 선을 찾으면 변환된 선을 찾을 수 있다.

 

여기서 L0는 정의역이 x = -2, 치역이 -2 ~ 2였다.

 

변환을 하니 정의역이 y = -2, 치역이 -4 ~ 0 이 되었다.

 

이처럼 변환을 하게 되면 새로운 정의역과 치역을 갖는 image가 나오게 된다.