7-2. 행렬과 벡터 곱의 선형 변환

(1) 행렬과 벡터의 곱, 그리고 선형 변환

 

행렬을 벡터와의 내적으로 변환하는 과정을 보여주고, 이런 변환이 선형변환인지 알아보도록 하자.

 

m x n 행렬 A는 열벡터 v1, v2부터 vn으로 표현할 수 있다.

 

이 때, 변환 T는 Rn에서 Rm으로 가는 변환이라고 하고, 벡터 x가 입력되면 행렬 A를 내적하여 나온 값으로 변환해준다고 해보자.

 

조금 생소해보일 수도 있지만, 이 역시 변환의 일종이니 익숙해지도록 노력해보자.

 

T(x) = Ax 이고, 결과는 Rm 상에 존재한다.

 

Ax = [v1, v2, ..., vn] [x1; x2; ... xn] 이라는 행렬과 벡터의 내적으로 표현할 수 있고,

 

이를 풀어보면, v1x1 + v2x2 + .. + vnxn 이다.

 

이 결과는 Rm 상에 존재하며, v1, v2, ... , vn 역시 Rm 상에 존재한다. (행렬 A가 m x n이기 때문)

 

그림으로 표현해보면, Rn에 있던 벡터 x를 Rm에 있는 Ax로 변환해준 것이라고 할 수 있다.

 

 

자세한 예로 행렬 B [-2, -1; 3, 4]가 있다고 해보자.

 

변환 T는 R2에서 R2로 가고, Bx와 같다.

 

그러면 이것은 무엇이 될까?

 

Bx를 풀어보면 [2x1 - x2; 3x1 + 4x2]가 된다.

 

이 변환을 다시 적으면, T(x1, x2) = (2x1 - x2, 3x1 + 4x2)이라고 표현할 수 있다.

 

그러면 행렬과 벡터의 곱은 항상 선형 변환과 같을까?

 

선형 변환이기 위한 두가지 조건이 (T(a+ b) = T(a) + T(b)) 이고, (T(ca) = cT(a)) 이기 때문에, 이 둘을 만족한다면 행렬과 벡터의 곱은 선형변환이라고 할 수 있다.

 

두 조건을 만족하는지 증명해보도록 하자.

 

 

m x n 행렬 A는 n개의 열벡터로 이뤄져 있고, 여기에 벡터 x를 곱해서 Ax의 변환을 한다고 해보자.

 

이 때, 각 열벡터는 m개의 요소를 가진다.

 

행렬과 벡터의 곱의 결과는 v1x1 + v2x2 + .. + vnxn이다.

 

만약 x = 벡터 a + 벡터 b라면,

 

A⋅(a+b)

= A [ a1+b1, a2+b2, ... , an+bn]

= (a1+b1)v1 + (a2+b2)v2 + ... + (an+bn)vn

= (a1v1 + a2v2 + ... + anvn) + (b1v1 + b2v2 + ... + bnvn)

= A⋅a + A⋅b

 

따라서, T(a+b) = T(a) + T(b) 가 성립한다.

 

 

두번째 조건을 보자.

 

A⋅(ca)

= [v1, v2, ..., vn][ca1; ca2; ... can]

= ca1v1 + ca2v2 + ... + canvn

= c(a1v1 + a2v2 + ... + anvn)

= c(A⋅a)

 

따라서, T(ca) = cT(a)가 성립한다.

 

 

두 조건을 모두 만족하므로, 행렬과 벡터의 곱으로 만들어진 변환은 항상 선형변환이라는 것을 알 수 있다.