6-11. 후보기저의 열공간 생성

(1) 행렬 A의 기저열과 나머지 열의 관계

 

6-9 글에서 A의 열공간에 대한 기저를 찾는 방법을 정리했다.

 

그리고 6-10에서는 기약행사다리꼴의 피봇 열이 기저이고, 이에 대응하는 A의 열 역시 기저라는 사실을 보였다.

 

이번에는 A의 기저 열 외의 열들이 왜 기저가 아니고, 기저 열들의 선형결합으로 나타낼 수 있는지 알아보겠다.

 

행렬 A와 A의 기약행사다리꼴행렬 R이 있으며, r1, r2, r4는 선형독립이면서 기저이고, 이에 대응하는 a1, a2, a4도 선형독립이면서 열벡터를 생성하는 기저이다. (왜냐하면 R과 A가 같은 영공간을 갖기 때문이다.)

 

기저 열만으로 이뤄진 span(a1, a2, a4)는 C(A)이고, 기저 열과 다른 열벡터로 이뤄진 span(a1, a2, a3, a4, a5) 역시 C(A)를 생성할 것이다.

 

이 생성을 풀어보면서, a3과 a5가 a1, a2, a4의 선형결합이라는 사실을 증명해보자.

 

영공간을 생각해보자.

 

Ax = 0, Rx = 0을 만족하는 x가 존재한다.

 

이때, x = [x1, x2, x3, x4, x5] 이고, (x1, x2, x4)는 피벗변수, (x3, x5)는 자유변수이다.

 

행렬 곱을 풀어보면, 

 

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0

x1 r1 + x2 r2 + x3 r3 + x4 r4 + x5 r5 = 0

 

 

x3 과 x5 는 자유변수이기 때문에, 아무 실수로 둬도 식이 성립한다.

 

기약행사다리꼴에서 피벗변수들을 자유변수를 활용하여 표현해보면,

x1 = A x3 + B x5

x2 = C x3 + D x5

x4 = E x3 + F x5

 

와 같이 표현할 수 있다.

 

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0 을 자유벡터를 다른 피봇 열의 벡터들의 선형결합식으로 표현해보면,

 

-x3 a3 = x1 a1 + x2 a2 + x4 a4 + x5 a5 

 

x3, x5는 어떤 실수이든 식이 성립하기 때문에, (x3 = -1;  x5 = 0)을 대입하자.

 

a3 = x1 a1 + x2 a2 + x4 a4

 

따라서, a3, a5는 피벗 열(기저)의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

 

그렇게 어려울 것은 없는 개념이다.