6-9. 열공간의 차원(랭크)

(1) 열공간의 차원(랭크)

 

 

이전에는 행렬의 열공간은 생각보다 구하기 단순하다는 것을 볼 수 있었다.

 

A의 열공간은 A의 열벡터들의 선형결합식과 같고, 열벡터들의 생성이다.

그래서 우선 열벡터들을 각각 a1, a2, a3, a4, a5로 불러보자.

 

그러면 A의 열공간은 span(a1, a2, a3, a4, a5)과 같다고 할 수 있다.

 

우리가 이번에 알고 싶은 것은 열벡터들이 열공간의 기저가 되는지이다.

A의 열벡터의 기저 = C(A)를 생성하는 벡터 이다.

기저 벡터들은 모두 선형독립이여야 한다.

 

그래서 우선은 A를 기약행사다리꼴로 만들어서, 피벗벡터와 자유벡터를 구해보자.

 

기약행사다리꼴 R은

 

[1, 0, -1, 0, 4
0, 1, 2, 0, 1
0, 0, 0, 1, -3

0, 0, 0, 0, 0] 이다.

 

여기서 피벗 성분은 1, 2, 4열에 존재하고, 자유성분은 3, 5열에 존재한다.

 

그래서 1, 2, 4열은 피벗 열이다. (r1, r2, r4)

 

피벗 열들은 선형독립이기 때문에, r1, r2, r4는 선형독립이다.

 

따라서, 이에 대응하는 A의 열들 a1, a2, a4 또한 선형독립한다.

 

 

 그러면 a1, a2, a4 벡터들이 열공간을 생성할까?

a1, a2, a4는 선형독립이므로, a3, a5는 피벗 열들의 선형결합으로 표현할 수 있다.

 

따라서, a1, a2, a4는 열공간(C(A))의 기저라고 할 수 있다.

왜냐하면 나머지 두개는 이 벡터들의 선형결합식으로 표현이 가능하기 때문이다.

그러면 A의 열공간의 차원은 어떻게 될까?

 

차원이란 열공간의 기저의 개수를 말합니다. (따라서, 열공간의 차원은 3)

그리고 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 가지고 있다. (이 경우 5개)

열공간의 차원을 부르는 말은 따로 있다. 랭크(Rank)라고 한다.

A의 랭크는 열공간의 차원과 같고 여기서는 3이 된다.

 

다른방법으로 생각하자면 A의 랭크는 모든 열공간을 생성하는 선형독립인 열 벡터들의 개수를 말한다.

또는 다른 벡터들을 나타낼 수 있는 선형 독립적인 열 벡터들의 개수를 말하기도 한다.

 

 

 

요약하자면,

행렬 A를 기약행사다리꼴로 만들고, 어떤 열이 피벗 열인지를 찾는다.

그리고 상응하는 열들이 열공간의 기반이 된다.

 

만약 행렬의 랭크를 구하려면 그 열의 개수를 세면 되고, 기약행사다리꼴에 존재하는 피벗 열의 개수를 구해도 된다.