4-4. 벡터 사이의 각도, 수직과 직교의 차이

1. 벡터 사이의 각도

이전에는 벡터의 길이에 대해 정리하면서, 벡터의 길이는 스칼라 값이라고 했다.

 

이번에는 벡터 사이의 각도에 대한 개념을 정의하고자 한다.

 

우리는 2차원 혹은 3차원 공간에서의 각도와 길이에 대해서 잘 알고 있다.

 

하지만 선형대수학이라는 학문 자체가 이런 개념들을 다차원의 공간에 추상화시키는 것이기 때문에, 다차원 공간에서의 각도에 대해서도 한번 알아볼 필요가 있다.

벡터 a와 벡터 b가 있다고 가정하고, 이들은 영벡터가 아니며 Rⁿ의 원소라고 해보자.

그리고 아직 두 벡터 사이의 각에 대한 개념을 이야기하지 않았지만, 일단 2차원상에 표현하면 삼각형을 이루는 벡터 a, 벡터 b, 벡터 a-b 가 나온다.

그리고 이 삼각형의 변의 길이는 각각의 벡터의 길이라고 할 수 있다.

 

벡터의 각도를 정의하기 전에, 가장 먼저 확실히 해야할 것은 항상 이런 구조물이 존재하냐는 점이다.

 

왜냐하면, 벡터 사이의 한 각을 정의하기 위해서 항상 이런 구조물을 만들 수 있다는 점이 중요하기 때문이다. 

 

구조물이 만들어 질 수 없는 이유를 써보면,

 

(1) ||b|| > ||a|| + ||a-b||

(2) ||a|| > ||a-b|| + ||b||

(3) ||a-b|| > ||a|| + ||b||

 

세가지가 존재한다.

 

따라서, 벡터의 삼각부등식을 이용하여 각 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작거나 같다는 것을 증명하면, 이런 구조물이 항상 만들어진다는 것을 증명할 수 있다.

 

삼각부등식은 영벡터가 아닌 두 벡터의 합에 대해서 두 벡터의 합의 길이가 각 벡터의 길이의 합보다 작거나 같다는 것이다.

 

벡터 a는 벡터 b+a-b와 같으며, 소괄호를 친다면 삼각부등식을 적용할 수 있게 된다.

 

삼각부등식에 의하여, ||a|| = ||b + (a - b) || ≤ ||b|| + ||a-b|| 이 성립한다.

 

따라서, ||a|| ≤ ||b|| + ||a-b|| 이며, (2)번 식이 틀렸음을 알 수 있다.

 

이처럼 다른 세 벡터의 길이에서도 똑같이 성립하며, 위와 같은 구조물은 항상 만들어짐을 알 수 있다.

 

즉, Rⁿ의 원소 중에서 영벡터가 아니라면 언제나 이런 방식으로 항상 삼각형을 만들 수 있다.

 

성분의 개수를 알 수 없는 Rⁿ의 원소인 벡터 a, 벡터 b, 벡터 a-b의 길이로 정의된 삼각형을 그리면 위와 같다.

 

고교수학에서 배웠던 코사인 법칙에 따르면, c² = a² + b² - 2abcos(θ)이다.

 

코사인 법칙을 이 삼각형에 적용해보면, 

 

||a-b||² = ‖a‖² + ‖b‖² -2‖a‖‖b‖cos(θ)

 

이 벡터 길이의 제곱은 벡터 스스로 내적한 것과 같기 때문에, 위 식의 좌변을 정리하면

 

||a-b||²

= (a-b)·(a-b)

= a·a -2a·b + b·b

= ||a||² - 2a·b + ||b||²

 

좌변과 우변을 다시 정리해보면,

 

||a||² - 2a·b + ||b||² = ‖a‖² + ‖b‖² -2‖a‖‖b‖cos(θ) 

 

a·b = ‖a‖‖b‖cos(θ)

 

두 벡터의 내적은 벡터 길이의 곱에 두 각도 사이의 코사인값을 곱한 값과 같다.

따라서, 두 벡터가 주어진다면 이 공식을 이용하여 두 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있다.

 

 

2. 벡터의 수직과 직교

 

 

a가 0보다 큰 스칼라 c와 벡터 b의 곱이라면, θ = 0이 될 것 입니다.

a가 c가 0보다 작으면서 동일선상에 있는 벡터 b와의 곱이라면, θ = 180이 될 것 입니다.

 

왜냐하면 a와 b가 겹쳐있거나 방향이 정반대라면, 그림과 같이 평평해지기 때문이다.

우리는 벡터 사이의 각의 정의를 이용하여 수직 벡터에 관한 개념을 정의할 수 있다.

 

수직의 정의는 두 벡터 a와 b 사이의 각도가 90º인 경우이다.

두 벡터를 내적하고, 두 벡터의 길이를 구하고 나면 두 벡터 사이의 각도를 구할 수 있다.

만약 각도가 90º라면, 이들은 수직(perpendicular)이라고 할 수 있다.

이것은 영벡터를 포함하는 정의가 아니라는 것을 명확하게 알아야 한다.

왜냐하면 두 벡터가 영벡터라면, 내적의 값은 0이고 길이의 곱도 0이다.

 

그러면 cos θ = 0 / 0 이 되기 때문이다. (undefined)

하지만 수직이라는 전문용어보다 좀 더 대중적인 용어를 만들어 보자. (=직교)

만약 두 벡터 사이의 각도가 90º라면 정의에 의해 두 벡터는 수직이다.

그렇다면 만약 두 벡터 사이의 각도가 90º라면 무엇을 의미할까?

θ = 90º라면, a·b = abcos(90º) 이고,

 

cos(90º) = 0이기 때문에,

 

a·b = 0 이다.

따라서, a와 b가 수직이라면 내적값은 0이 된다.

즉, 두 벡터의 내적값이 0이라면 이들이 수직이라는 것을 알 수 있다.

 

하지만, 앞에서 말했듯이 수직(perpendicular)에서 a와 b는 영벡터가 아니라고 했다.

 

영벡터를 z라 가정하면, z와 어떤 벡터를 내적해도 그 결과는 항상 0이지만, 영벡터가 모든 벡터와 수직이라는 뜻은 아니다.

 

왜냐하면 수직이라는 용어는 둘 사이의 각도에 대한 개념이 있어야 하기 때문이다.

 

영벡터가 정의되지 않았기 때문에, 수직이라는 개념에서 영벡터가 굉장히 신경쓰이게 된다.

영벡터까지 포함된 개념을 만들기 위해서, a·b= 0 이라는 조건이 만들어주자.

 

만약 두 벡터의 내적값이 0이라면 우리는 이걸 직교(orthogonal)라고 한다.

모든 수직인 벡터가 직교이지만(내적의 값이 0이기 때문),모든 직교인 벡터가 수직인 것은 아니다.(영벡터 때문)

 

비슷하게 사용되는 개념이기는 하지만, 둘의 차이점은 조건(가정)과 영벡터의 포함유무라고 할 수 있다.