4-3. 벡터의 삼각부등식

1. 삼각부등식 (Triangle Inequality)

 

예전에 삼각형을 배울 때, 배웠던 공식과 유사하다.

 

삼각형 두 변의 길이의 합은 항상 나머지 한 변의 길이보다 크다는 것.

 

변 a의 길이 + 변b의 길이 > 변 c의 길이 이며,

 

변 a의 길이 + 변b의 길이 = 변 c의 길이 이면, 아래의 그림과 같이 직선이 되게 되기 때문에 삼각형이 아니게 된다.

 

 

벡터의 삼각부등식도 유사하다.

 

||x||+||y|| ≥ ||x+y|| 로, 두 벡터의 길이의 합은 벡터 합의 길이보다 크거나 같다.

 

이를 코시-슈바르츠 부등식을 활용하여 증명할 수 있다.

 

일단, 코시슈바르츠 부등식을 다시 써보자.

 

0벡터가 아닌 두 개의 벡터 x와 y가 있고, 이들은 Rⁿ의 원소라 합시다

 

0벡터가 아니라고 가정하는 이유는 증명하는 과정에서 이 중 하나의 벡터의 길이로 나눠야하기 때문이다.

 

x와 y를 내적 연산한 절대값이 벡터 각각의 길이를 곱한 값보다 같거나 작다.

 

만약, 벡터 x가 벡터 y의 스칼라 c배여서, 두 벡터가 동일선상에 있는 경우라면, 두 벡터의 내적연산한 값의 절대값이 두 벡터의 길이의 곱과 같다.

 

이 때, c는 0이 아니어야 한다. 왜냐하면 두 벡터가 0이 아니라고 가정했기 때문이다.

 

이 식을 이용하여, 삼각부등식을 증명해보자.

 

 

벡터 x와 y의 길이를 더하고 그 길이를 제곱해보자. ( ||x + y||² )

 

x+y라고 쓰여져 있기 때문에 두 개의 벡터처럼 보일 수 있지만, 이것은 두 개의 벡터가 하나로 더해진 것이므로 그냥 하나의 벡터라고 볼 수 있다.

벡터 길이의 제곱은 벡터 자신을 내적한 값과 같다.

그러므로 x+y의 길이를 제곱한 것을 벡터 자체의 내적으로 바꾸어 써보면 (x+y)∙(x+y)로 쓸 수 있다.

 

||x + y||² = (x+y)∙(x+y) ...(0)

내적한 것이므로 스칼라 값이 아닌 벡터이며, 분배법칙, 결합법칙, 교환법칙이 성립한다.

(0)번 이항식의 우변을 차례로 전개해 보면,

 

= x ∙ (x+y) + y∙(x+y)

 

= x∙x + x∙y + y∙x + y∙y 이다.

 

벡터의 내적은 길이의 제곱과 같으며, 내적에서는 순서가 중요하지 않기때문에

 

= ||x||² + 2(x∙y) + ||y||² 이 된다. ....(1)

 

이 때, (x∙y) 는  |x∙y|보다 작거나 같다. 왜냐하면 내적의 값이 음수가 될 수도 있기 때문이다.

 

(x가 양수이고 y가 음수일 땐, 내적 값이 음수가 되지만, 절대값은 양수가 된다.)

 

또한, 코시슈바르츠 부등식에 따라, |x∙y|는 ||x|| 와 ||y||의 곱보다 작거나 같다.

 

따라서, x∙y ≤ |x∙y| ≤ ||x|| x ||y|| 이 성립하게 된다.

 

(1)번 식에서 이를 이용하면,

 

||x||² + 2(x∙y) + ||y||² ≤ (||x|| +  ||y||)²  ... (2) 이 성립한다.

 

따라서, ||x + y||² ≤ (||x|| +  ||y||)² ... (3) 이 된다. 

 

(3)번 식의 양변에 루트를 씌워주면,

 

 ||x + y|| ≤ ||x|| +  ||y|| 라는 삼각부등식이 나오게 된다.

 

 

 

이 식은 왜 삼각부등식이라고 부르는지는 각각의 항을 삼각형의 변이라고 생각해보면 알 수 있다.

맨 처음에 활용했던 2차원 벡터 공간에 삼각형을 그린 이미지를 가져와보면,

벡터 x 더하기 벡터 y를 하면, 연보라색 벡터가 나오게 된다.

연보라색 변의 길이는 x변의 길이와 y변의 길이를 더한 것과 같거나 작다.

 

만약 벡터 x와 벡터 y가 같은 방향이라면, x+y의 길이가 벡터 x와 y의 길이를 각각 합한 것이라고 볼 수 있다.

 

x와 y가 동일 선상에 있다(x = cy)는 아주 극단적인 경우 때문에, 삼각부등식에는 등호가 포함된다.

 

x, y는 0벡터가 아니라고 했기 때문에, c는 0이 아니다.

 

또한, c가 음수이면, 부등호의 방향이 바뀌기때문에 c는 무조건 양수이다.

 

따라서, 벡터의 삼각부등식은

 

x, y가 영벡터가 아닐 때, ||x + y|| ≤ ||x|| +  ||y|| 가 성립하며

x, y가 동일 선상에 있으며 x가 y의 양수배(c>0)이면, ||x+y||=||x||+||y||가 성립한다.