4-2. 코시슈바르츠 부등식의 증명

1. 코시-슈바르츠 부등식 (Cauchy–Schwarz inequality)

 

영벡터가 아닌 두 벡터 x와 벡터 y가 있으며, 두 벡터는 집합 Rⁿ의 원소이라고 가정하자.

두 벡터를 내적한 값의 절대값(스칼라)은 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같다.

벡터 x와 y 두 값이 같은 경우에만 두 벡터의 내적이 두 벡터의 길이의 곱과 같아진다.

 

즉, 하나의 벡터가 다른 벡터의 스칼라배인 경우이다. (벡터 x는 벡터 y의 스칼라 c배)

한마디로 두 벡터가 동일선상에 있는 경우이다.

이 식을 코시슈바르츠 부등식이라고 부른다.

 

 

p(t)라는 임의의 벡터를 t × y - x로 정의해보자.

 

p(t)라는 벡터의 길이는 ||t × y - x||^2으로 표현되며, 길이는 제곱한 값이기 때문에 적어도 0보다 크거나 같게 된다.

 

벡터 v의 길이(크기)는 v1²에서 vn²까지 더한 값에 루트르 씌운 양의 제곱근이기 때문에, 벡터의 크기는 항상 0보다 크거나 같다.

 

이전 포스팅에서 정리한 내용에서, 벡터의 길이를 제곱한 것은 벡터 자기자신을 내적한 것과 같다고 하였다.

 

그러므로 ||t × y - x||^2 = (ty - x) · (ty - x) 이다.

 

지난 글에서 결합법칙, 분배법칙, 교환법칙을 벡터의 곱셈 혹은 내적에도 적용할 수 있다고 했기 때문에, 

 

(ty - x) · (ty - x)에 분배법칙을 적용하면, ty · ty - x · ty - ty · x + (-x) · (-x)가 된다.

 

교환법칙과 결합법칙을 이용하여 식을 다시 한 번 써보면,   (y·y)t² - 2(x · y)t + x · x가 된다.

 

이 식은 ||t × y - x||^2을 다시 쓴 것이기 때문에, 여전히 0보다 크거나 같을 것이다.

 

위 식에서 y·y를 a, 2(x · y)를 b, x · x를 c 로 치환해보자.

 

그러면 이 식은 at² - bt +c가 되고, 여전히 0보다 크거나 같다.

 

 

p(t)는 어떤 t의 값을 대입하더라도 0보다 크거나 같다.

p(t)에 t=b/2a를 대입해보자.

 

일단 0으로 나눌 수는 없기 때문에, b/2a에서 a는 0이 아니어야 한다.

a = y·y 이므로 벡터 y 스스로의 내적값이며, 이 글의 맨 첫줄에서 말했듯이 벡터 y는 영벡터가 아니다.

스스로의 내적값은 벡터의 길이의 제곱과 같으며, 벡터 y가 0벡터이 아니므로 벡터의 길이는 양수일 것이다.

그러므로 a도 양수이라는 사실을 알 수 있다. (2a로 나누는 데는 아무런 문제가 없다~)

그렇다면 p(b/2a)는 a × (b/2a)² + (-b) × b/2a + c가 되고, 이 식은 0보다 크거나 같다.

 

이 식은 b²/4a - b²/2a + c가 되고, 

 

 (- b²/4a) + c가 0보다 크거나 같다는 부등식이 된다.

양변에 -b²/4a을 더해주면, c ≥ b²/4a가 된다.

 

양변에 4a를 곱해주면, 4ac ≥ b²가 된다. (a는 0이 아니면서 양수이기 때문에 부등호 방향은 바뀌지 않음)

 

a, b, c를 다시 치환해보면, 4 × (y·y) x (x·x) ≥ {2(x·y)}² 이다. 

 

y·y는 벡터 y의 길이의 제곱과 같기 때문에, y·y = IIyII² 이고,

 

x·x는 벡터 x의 길이의 제곱과 같기 때문에, x·x = IIxII² 이고,

 

{2(x·y)}²는 4(x·y)²이다.

 

양변을 4로 나눠주고 루트를 씌우면, IIyII IIxII ≥ |x·y| 이다.

즉, 벡터 y의 길이와 벡터 x의 길이의 곱이 두 벡터의 내적값의 양의 제곱근보다 크거나 같다는 것을 알 수 있다.

"벡터의 내적의 절댓값은 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같다"는 코시-슈바르츠 부등식을 얻을 수 있다.

 

 

맨 처음에 말한 바와 같이 벡터 x가 벡터 y의 스칼라 c배여서, 두 벡터가 동일선상에 있는 경우는 어떻게 되는지 알아보자.

 

벡터 x와 벡터 y의 내적값을 구하는 |x·y|에서 x를 cy로 치환하자.

 

|x·y| = |c × y·y| 이고,

 

|c × y·y| = |c| × |y·y| = |c| × ||y||² = |c| × ||y|| x ||y|| = ||cy|| x ||y|| =  ||x|| x ||y|| 이 된다.

이 때, 절댓값이 모든 값을 양수로 만들어 주기 때문에 결합을 이런 식으로 해도 부호에 아무 문제가 없다.

 

따라서, 두 벡터가 동일선상에 있는 경우, 벡터 x의 길이와 벡터 y의 길이의 곱은 두 벡터의 내적과 같다. 

코시-슈바르츠 부등식은 선형대수학의 증명에서 많이 쓰인다.

다음에는 이것이 벡터의 내적과 어떤 관련이 있는지 더 직관적으로 설명하도록 하겠다.