3-1. 선형부분공간

1. 선형부분공간(Linear Subspace)

 

ℝ𝑛이 각 벡터가 n개의 성분을 가지고 있는 무한히 큰 벡터의 집합이라고 할 때, ℝ𝑛의 부분공간은 어떻게 정의할 수 있을까?

 

 

벡터의 집합 V는 특정한 벡터의 부분집합 ℝ𝑛의 부분집합(subset)이라고 정의하자.

 

그렇다면 ℝ𝑛과 V의 관계는 그림의 우측에 있는 것처럼 포함관계가 되게 될 것이다.

 

이 때, V는 한 부분이 될 수도 있고 ℝ𝑛 전체가 될 수도 있다. 

 

V가 부분공간이거나 ℝ𝑛의 선형 부분공간이라면 3가지 조건을 충족시켜야 한다.

 

조건 1)

V가 영벡터를 포함한다.

 

영벡터에는 0뿐만 아니라 복수 개의 0이 있는 값 역시 포함한다.

 

조건 2)

스칼라와 벡터의 곱에 대해 닫혀있다.

 

V가 어떤 벡터 x를 가지고 있다면, x에 임의의 스칼라 c를 곱했을 때 c*x 역시 V에 있는 성질을 '닫혀있음'이라고 한다.

 

집합에서 어떤 원소를 다른 스칼라와 곱하더라도 그 값은 집합에 여전히 있을 것이고, 이를 closure under scalar multiplication이라고 할 수 있다.

 

만약 어떤 스칼라랑 벡터를 곱했는데 집합에서 벗어나 부분집합에 없는 다른 벡터가 나오게 된다면, 이 부분집합은 부분공간이 아니게 된다.

 

조건 3) 

집합은 벡터의 덧셈에 대해 닫혀있다.

 

벡터 a가 집합 V에 있고 벡터 b도 집합 V에 있고 V가 Rn의 부분공간이라면, a+b가 무조건 V에 있다.

 

부분집합의 원소 2개가 있다고 가정하자.

 

두 원소를 더하면 이것은 부분집합 내의 임의의 두 원소가 된다

 

그리고 두 원소를 서로 더하면 부분집합 내의 또 다른 원소를 얻게 된다는 것이다.

 

이것이 바로 덧셈에 대해 닫혀있다는 뜻이다.닫혀있는 집합의 두 벡터를 더했을 때 그대로 집합 내의 또 다른 벡터가 나오기 때문에, 집합 밖의 다른 벡터를 얻게 되는 일은 절대 없다.

 

예를 들어서 생각해보자.

 

R³의 부분집합인 영벡터 V는 R³의 부분공간이라고 할 수 있을까?

 

조건 1의 0벡터를 포함한다. -> ok

 

조건 2의 곱셈에 닫혀있음 -> 임의의 스칼라를 곱하더라도 V에 속한다 -> ok

 

조건 3의 덧셈에 닫혀있음 -> 0벡터와 0벡터를 더하면 0벡터가 나온다 -> ok

 

따라서, 영벡터만을 가지고 있는 부분집합 V는 R³의 선형부분공간이라고 할 수 있다.

 

한가지 예를 더 들어서 생각해보자.

 

S는 x1은 0보다 크다는 조건이 있는 R²의 부분 집합이다.

 

그래프 상에서 표현하면 S는 1사분면과 4사분면을 나타내는 부분집합이다.

 

이 S가 R²의 부분공간이라고 할 수 있을까?

 

조건 1의 0벡터를 포함한다 -> ok

 

조건 3의 벡터 덧셈에 닫혀있다. -> 무엇을 더하더라도 1, 4 사분면을 벗어나는 벡터는 나오지 않는다 -> ok

 

조건 2의 곱셈에 닫혀있다. -> -1을 곱하게 되면 2, 3 사분면에 존재하는 벡터가 나온다 -> Not ok

 

따라서, S는 R²의 부분공간이 아니다.

 

 

어떤 집합의 선형생성은 벡터 v1, v2, v3를 가지고 있으며, 이 벡터들의 성분이 몇 개인지 모른다고 가정하자.

이 집합의 선형생성은 ℝ𝑛의 부분공간이라고 할 수 있을까?

집합의 모든 선형결합이 선형생성인 집합을 U라고 정의하자.

그래서 알고 싶은 것은 과연 U가 유효한 부분공간이냐는 것이다.

조건 1)

 

U의 임의의 원소를 한 번 뽑으면, 이것은 영벡터를 포함하고 있을까?

 

벡터들을 0과 곱한다고 하면( 0 × v1 ) + ( 0 × v2) + (0 x v3) 은 영벡터를 얻기 때문에, 이것은 당연히 영벡터를 포함하고 있다.

조건 2)

 

선형생성의 정의에 따라서 U의 임의의 벡터들의 선형결합으로 x를 생성하기 때문에,

 

벡터 x = c1 × v1 + c2 × v2 + c3 × v3 와 같이 표현할 수 있다.

임의의 상수 a를 여기다가 곱해 보면,

a × x = a × c1 × v1 + a × c2 × v2 + a × c3 × v3 이다.

 

a x c1은 또 다른 임의의 상수로 표현할 수 있기 때문에, 

 

a x x = c4 × v1 + c5 × v2 + c6 × v3로 표현할 수 있으며,

이것은 명백히 세 벡터들의 또 다른 선형결합이다.

 

따라서, 이것은 선형결합들 중 하나이고 이 또한 선형생성 안에 포함된다. 

 

즉, 이것은 곱셈에 대해 닫혀있다.

 

임의의 n개 벡터로 확장하더라도, 곱셈에 여전히 닫혀있다.

 

조건 3)

 

y = d1v1 + d2v2 + d3v3라고 가정하면,

 

x + y = (c1+d1)v1 + (c2+d2)v2 + (c3+d3)v3 가 나온다.

 

명백하게 이것은 또 다른 선형결합이며, 덧셈에 닫혀있다고 할 수 있다.

 

간단한 예시로 Span([1, 1])도 R²의 부분공간인지 알아보자.

 

조건 1)

 

0을 곱해주면 0벡터를 생성한다. -> ok

 

조건 2)

 

벡터 a(스칼라 c1)와 벡터 b(스칼라 c2)를 더하면 벡터 (c1+c2)가 나온다. 

 

따라서, 덧셈에 닫혀있다. -> ok

 

조건 3)

 

곱하더라도 그래프 상의 직선 상에 존재하는 벡터값만 나온다.

 

따라서, 곱셈에 닫혀있다. -> ok

 

이러한 사소하고 간단한 생성도 유효한 부분공간이다.

 

일반적으로, n개의 벡터들의 생성이 Rn의 부분공간이라는 것에 같은 논리를 적용할 수 있다.