2-3. 선형독립, 선형종속 추가 (수식 정의, 증명)

 

 

1. 선형종속 증명

선형종속을 만족하는 벡터들의 집합 S의 원소에 v1, v2, ..., vn까지 있다고 하자. 

 

필요충분조건(iff, if and only if, 초록색 양방향 화살표)으로서

 

c1·v1+...+cn·vn = 0 을 만족시킨다면 선형종속이라고 할 수 있으며,

 

선형종속을 만족시킨다면 c1·v1+...+cn·vn = 0 이라고 할 수 있다.

 

이 때의 상수 c1, c2, ... cn에서 어떤 ci는 0이 아니다. 

 

즉, 상수 c 중에서 0이 아닌 것이 최소한 1개는 존재한다는 의미이다.

 

이를 증명해보자.

 

선형종속을 만족하는 v1, v2, ... , vn이 있다.

 

선형종속이라면 한 벡터는 다른 벡터들의 합으로 표현될 수 있다고 가정하자.

 

수식으로 표현하면 v1 = a2v2 + a3v3 + ... + anvn이다.

 

v1을 우항으로 넘겨주면 0 = -v1 + a2v2 + ... + anvn이다.

 

이러면 a1이 -1이기 때문에 최소한 1개의 상수 a는 0이 아니다.

 

그럼 반대로 역의 경우도 성립하는지 알아보자.

 

최소한 1개의 상수 c가 0이 아니라고 가정하자.

 

c1이 0이 아니라고 가정하면, c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0이라는 수식에서 양변을 c1으로 나눠줄 수 있다.

 

그러면 v1 + c2v2/c1 + ... + cnvn/c1 = 0이 되고, v1을 우항으로 넘기고 -1을 양변에 곱해준다면,

 

v1 = -c2v2/c1 - ... - cn/vn/c1이 된다.

 

그러면 벡터 v1을 다른 벡터의 결합으로 표현할 수 있다.

 

위에서 증명한바를 활용하면, 벡터들이 선형종속인지 아닌지를 쉽게 계산해볼 수 있다.

 

벡터(2,1)과 벡터(3,2)가 있고, 이 두 벡터가 선형종속인지 선형독립인지 계산해보면 아래의 그림과 같이 된다.

 

두 벡터를 c1과 c2를 곱해줬을 때, c1v1 + c2v2 = 0이라는 수식을

 

c1과 c2가 모두 0일 때 만족시키면 선형독립이며, 둘 중 하나가 0이 아니라면 선형종속이다.

 

c1(2,1) + c2(3,2) = (0,0)을 계산해보면

 

c1과 c2가 모두 0일 때, 식을 만족하기 때문에 두 벡터는 선형독립관계라고 할 수 있다.

 

두 벡터는 선형독립이기 때문에, 두 벡터의 span은 R²공간이다.

 

하나의 예시를 더 보도록 하자.

 

 

위와 같이 (2,1), (3,2), (1,2)로 이뤄진 벡터집합이 있다.

 

이것이 선형종속이라면 어떤 상수들 c1, c2, c3에 대해서 이 벡터들에 상수를 차례로 곱한 것의 합이 0벡터가 되어야 한다.

 

이 중 적어도 1개가 0이 아니라면 선형종속이다.

 

만약 2차원벡터가 2개만 있더라도 이들이 선형독립이라면, 나머지 1개는 무조건 선형종속이다.

 

하지만 위의 증명을 활용하셔 연산해보자.

 

0이 아닌 c3, c2, c1을 구해서 이 식이 영벡터를 만족시킨다는 것을 보여주면, 이 벡터들은 선형종속이라고 할 수 있다.

 

미지수가 3개인데, 방정식은 2개이기 때문에 c3를 -1이라고 가정해보자.

 

식을 계산하면 c2=3, c1=-4가 된다.

 

적어도 하나가 0이 아님을 보여야하지만 여기서는 셋 모두 0이 아님을 보였기 때문에, 이 집합은 선형종속이라고 할 수 있다.