2-2. 선형독립, 선형종속

1. 선형종속(Linearly Dependent) & 선형독립(Linearly Independent)

 

Span{ (2,3), (4,6) }이 있을 때, 두 벡터로 생성할 수 있는 모든 벡터는 무엇일까?

(2,3)과 (4,6)은 한 직선 위에 있기 때문에, Span{ c*(2,3) }과 같이 표현할 수 있다.

 

즉, 첫 번째 벡터의 스칼라곱으로 간단히 나타낼 수 있다.

 

R²상에서 생성할 수 있는 벡터는 직선뿐이다.

 

이러한 것을 보고 선형종속이라고 한다.

 

어떤 벡터를 선택하든 새로운 방향이나 정보가 없기 때문에, 크기만 커질 뿐 동일한 방향으로 진행하며 직선을 벗어나는 새로운 차원이 주어지지 않는다.

 

 

R³공간에서 동일선상에 없는 벡터a와 또 다른 벡터b가 있으면 2차원 공간을 정의하게 된다.

이 평면이 노란색의 두 벡터로 정의되었다고 하면, R³를 정의하기 위해선 집합 내의 세 번째 벡터는 이 두 벡터와 동일평면상에 존재하면 안된다.

만약 이 세 번째 벡터가 초록색처럼 동일평면상에 있다면 더 이상의 방향성을 추가하지 못하기 때문이다.

따라서 이 세 벡터의 집합은 선형종속이라고 할 수 있다.

하지만 만약에 위처럼 노란색의 두 벡터와 파란색의 벡터가 집합에 정의되어 있다면, 새로운 방향성이 추가되어 R³를 생성할 수 있다.

 

이런 경우에는 선형독립이라고 할 수 있다.

 

 

예를 들면,  벡터 [2 3], [7 2], [9 5]가 있다면,  이들은 선형종속일까? 아니면 선형독립일까?

이것은 이 벡터의 스칼라배는 아니지만, 각 벡터를 v₁, v₂, v₃ 라고 했을 때 v₁ + v₂ = v₃ 이다.

 

v₁, v₂으로 생성한 R²상에 v₃가 존재한다고 말할 수 있다.

따라서 v₃는 다른 두 벡터의 선형결합이고, 이것은 선형종속 집합이다.

 

span(v₁, v₂)도 R²를 생성하고, span(v₁, v₂, v₃)도 R²를 생성하게 되는데

 

v₃는 생성가능한 선형결합에 영향을 끼치지 않기 때문에, 여분의 벡터라고 할 수 있다.

 

이 때, span(v₁, v₂)가 기저를 만드는 더 효율적인 방법이라고 할 수 있다.

 

 

다시, R³공간으로 넘어가보자.

벡터 [2 0 0], [0 1 0], [0 0 7]이 있고, 이들은 모두 R³의 원소이다.

 

이 세 벡터들은 같은 평면 상에 있지 않기 때문에, 선형독립이라고 할 수 있다.

 

그리고, 셋 다 다른 방향성을 띄기 때문에 R³를 생성하는 집합이라고 할 수 있다.