2-1. 선형결합과 생성

1. 선형결합(Linear Combination)

 

선형대수학 전반에서 등장하는 선형결합에 대해서 알아보겠다.

 

벡터의 선형결합이라는 것은 말 그대로 벡터들을 단순히 다 더하는 것이다.

 

n차원 상의 벡터가 m개만큼 존재할 때, v1~vm까지 임의의 상수를 곱해서 더하는 것이다.

 

구체적인 예시를 들어보면 아래와 같다.

 

 

벡터 a는 (1,2), 벡터 b는 (0,3)이라고 한다면, 임의의 c1과 c2를 곱해서 새로운 벡터를 만들어 낼 수 있다.

 

이렇게 만들어진 벡터들을 R²위에 표현하면, 어떤 벡터든 a와 b의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

 

결론적으로 Span(a, b)는 R²라고 할 수 있다.

 

하지만, 어떤 두 벡터가 있더라도 R²의 모든 벡터를 나타낼 수 있는 것은 아니다.

 

a와 b가 영벡터이거나, 동일한 직선 상에 존재하는 벡터(=같은 기울기를 갖는 벡터)라면 나타낼 수 있는 벡터는 한정적이다.

 

0벡터 자신의 선형결합으로 얻을 수 있는 유일한 벡터는 영벡터 자신뿐이다.

 

또한, 동일한 직선 상에 있으면 아무리 더해봐야 직선 상에 존재하는 벡터만 표현할 수 있다.

 

 

2. 생성(Span)

 

Span(생성)에 대해서 수학적인 정의를 내리면 아래와 같다.

만약 벡터 v1, v2, ..., vn으로 이루어진 집합의 생성이라고 하면, 그 집합의 span은 c1v1 + c2v2 + ... + cnvn으로 표현이 되는 모든 벡터들을 다 모은 집합이다.

 

이 때, 모든 i에 대해 각 ci는 실수이다.

이 span은 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있는 공간 전체를 나타낸다고 생각할 수 있다.

 

위의 1에서 보여줬다시피, a와 b 벡터를 활용한 span은 R²와 동일하며, 영벡터를 활용한 span은 영벡터이다.

 

span(a,b)가 R²을 만족한다면, 특정한 벡터x를 구하는 c1, c2의 값은 항상 구할 수 있는 값이다.

벡터 x가 (x1, x2)라고 한다면,

 

c1 * a + c2 * b = x이고,

 

이를 대입하여 수식으로 풀면

 

1c1 + 0c2 = x1

2c1 + 3c2 = x2

 

이기 때문에, x1과 x2가 주어진 연립방정식이 성립한다.

 

그렇기 때문에,  R²을 만족하는 span(a,b)에서 어떤 c를 곱해야 벡터x를 구할 수 있는지는 항상 알 수 있다.