3-2. 부분공간의 기저

1. 부분공간의 기저 (Basis of Subspace)

 

이전 포스팅에서 다룬 것처럼 부분공간 V는 어떠한 벡터집합의 생성과 같기 때문에, 임의의 벡터집합의 생성은 유효한 부분공간이라고 했다.

또한, v₁ , v₂, ... , vn에 이르는 벡터들의 집합은 선형독립이다.

생성이 무엇인지 간단하게 다시 정리하면, 생성이라는 것은 여기의 벡터들로 만들 수 있는 모든 가능한 선형결합의 집합을 말한다.

즉, 각각 다른 상수를 곱한 선형결합인c₁ x v₁  + c₂ x v₂ + ... + cn x vn으로 표현할 수 있으며, 이 결합의 모든 경우의 수가 생성이며 부분공간 V의 정의이기도 하다.

선형독립의 정의는 곧 식 c₁ x v₁  + c₂ x v₂ + ... + cn x vn 의 유일한 해가 영벡터라는 뜻이며 모든 항이 0이라는 뜻이다.

c₁=c₂ = ... =cn=0

c1부터 cn까지 모두 0이다.

그 뜻은 이 중 어느 벡터도 나머지 벡터의 결합으로 표현될 수 없다는 것이다. (=모든 벡터들은 선형종속이 아니다)

이 벡터집합의 생성이 부분공간과 같거나, 이 부분공간을 만들어내거나 혹은 이 부분공간을 생성하고, 동시에 모든 벡터가 선형독립일 때, 우리는 이 집합을 S라고 정의할 수 있다.

S는 v₁ , v₂, ... , vn의 집합이므로 벡터집합 S는 부분공간 V의 기저(basis)라고 한다.

 

어떠한 집합의 기저라는 것은 이 벡터들이 부분공간을 생성하고 부분공간의 어떠한 벡터도 될 수 있으며 그 벡터들은 선형독립이라는 것이다.

 

부분공간을 생성하는 집합은 다양할 수 있다.

예를 들어, 이 집합 S가 V를 생성할 때, 벡터 vs가 추가된 집합을 T라고 해보자.

그리고 vs가 v₁와 v₂를 더한 것이라고 가정해보자.

당연하게도 이 집합은 선형독립이 아니도록 하는 벡터가 하나 존재하기 때문에 선형독립이 아니지만, T의 생성은 여전히 부분공간 V와 같을 것이다.

T는 선형종속이고, 이 경우 T는 V의 기저라고 할 수 없다.

이 예시를 통해 알 수 있는 점은 기저는 "최소한의" 벡터집합이라는 점이다.

T에서 벡터 vs 없이도 나머지 벡터들이 부분공간 V를 생성할 것이기 때문에 vs는 불필요하다고 할 수 있다.

기저에는 불필요한 중복이 존재하지 않으며, 모든 벡터들은 부분공간 V의 임의의 벡터를 구성하기 위해서 모두 필요하다.

 

 
예를 들어, 벡터공간을 R²이 있고, 벡터 (2, 3)과 벡터 (7, 0)으로 이뤄진 벡터집합 S가 있다고 가정하자.

S의 생성은 무엇일까? 이 집합의 모든 가능한 선형결합은 무엇일까?

 

만약 집합 S가 R²를 생성한다면, R²의 어떠한 점이라도 표현할 수 있는 c₁ 과 c₂를 찾을 수 있다는 것이다.

식으로 풀어내면
2c₁  + 7c₂ = x₁
3c₁  + 0 = x₂

 

c₁  = x₂ / 3
c₂ = x₁ /7 - 2/21 x₂

 

결국 x₁과 x₂의 값이 주어지기만 한다면, R²에 존재하는 모든 c₁, c₂값을 계산할 수 있다.

그러므로 S의 생성은 R²가 된다.

두 번째 질문으로 넘어가면, S가 선형독립이라면 c₁ x 첫 번째 벡터 + c₂ x 두 번째 벡터 = 0를 성립하는 유일한 해가 0이라는 의미이다.

x₁과 x₂에 각각 0을 대입하면, c₁과 c₂ 둘 다 0일 때밖에 해가 존재하지 않는다.

그러므로 S는 선형독립인 집합이라고 할 수 있다.

정리해보면, S는 R²를 생성하고 선형독립이다.

따라서, 집합 S는 R²의 기저라고 할 수 있다.

 

S가 R²의 유일한 기저라고 할 수 있을까?

아주 단순한 벡터 집합을 생각해봄으로써 확인해볼 수 있다.

 

T를 (1,0), (0,1)을 포함하는 집합이라고 가정하자.

R²의 x₁과 x₂는 이 두 벡터 (1, 0)에 x₁을 곱한 것과 (0, 1)에 x₂를 곱한 것을 더하면 항상 (x₁, x₂)가 나온다.

그러므로 이 집합은 R²를 생성한다.

이 식을 영벡터와 같다고 두고 풀어보면, x₁와 x₂ 둘 다 0이어야만 한다. 

그러므로 집합 T 역시 선형독립이다.

집합 T는 R²를 생성하면서, 동시에 집합 T는 선형독립이기 때문에 R²의 기저가 된다.

즉, 부분공간이 존재한다고 해서 그 기저가 하나만 있는 것은 아니며, 여러 개의 기저가 존재할 수 있다.

보통 하나의 부분공간에 대해서 무한 개의 기저가 존재한다.

여기서 집합 T는 특별히 표준 기저 집합이라고 부른다.

이것이 단위 벡터 i이며, 단위 벡터 j이기 때문이다.

이 단위 벡터들은 데카르트 좌표의 표준 기저이다.

 

 

 

앞의 예로 되돌아가서 살펴보면, 집합 S가 R²의 기저지만, 이 집합에 다른 벡터 (1, 0)을 추가하면 집합 S는 R²의 기저일까?

아니다.

집합 S'은 R²를 생성하긴 하지만, R²를 생성하기 위해서 마지막 벡터가 굳이 필요하진 않다.

왜냐하면 앞의 두 벡터가 R²를 이미 생성하기 때문이다.

R²에 속하는 모든 벡터는 이 두 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있으며, 마지막 벡터가 R²안에 존재하므로 (1, 0)은 앞의 두 벡터의 선형결합으로 표현될 수 있다.

그러므로 새로운 집합 S'은 선형종속이며, 중복되고 불필요한 정보가 존재하며, 이 집합은 더 이상 기저라고 부를 수 없다.

기저 집합이라 하려면, R²를 생성하는 최소한의 벡터들의 집합이어야 한다.