4-12. 평면 사이의 거리

(1) 평면 사이의 거리

 

 

만약 평면 Ax-2y+z=d와 다음 직선들을 포함하는 평면 사이의 거리가 √ 6이라면 d는 무엇일까요?

 

라는 문제를 풀어보면서 평면과 평면 사이의 거리를 구하는 방법을 생각해보겠다.

 

평면 사이의 거리는 두 평면이 평행해야 구할 수 있다.

 

왜냐하면, 만약 그들이 평행하지 않다면 만나게 되기 때문에 거리는 0이 되기 때문이다.

 

거리가 √6으로 주어졌기 때문에, 두 평면은 만나지 않고 평행한다는 걸 알 수 있다.

 

그림을 그려보면, 위와 같이 평면 ax - 2y + z = d와 또다른 평행한 평면을 나타낼 수 있다.

한 평면은 직선 2개로 생성할 수 있기 때문에, 두 직선을 초록색과 노란색으로 그려보겠다.

 

이제 어떻게 거리를 구할 수 있을까?

두 평면은 평행하기 때문에 기울기가 같고 d가 다르게 된다.

 

파란 평면의 방정식을 일단 구하고 시작하자.

 

파란 평면 위의 점(1)을 구하고, 점을 지나는 벡터(2)를 구하고, 벡터의 외적을 활용해 파란 평면에서의 법선(3)을 구한다.

 

그 후, 벡터를 갖는 파란 평면의 식(4)과 자홍색 평면의 d(5)를 차례대로 구해보겠다.

 

(1) 점 (1,2,3), (3,5,7), (2,3,4)은 서로 다른 점이고, 모두 평면 상에 있다.

 

(2) (1,2,3), (3,5,7)에 대한 위치벡터의 차는 평면 위에서 두 점을 지나는 벡터 a 값이다.

 

따라서, (3 - 1 = 2)i + (5 - 2 = 3)j + (7 - 3 = 4)k 가 된다.

 

(2) (1,2,3), (2,3,4)을 지나는 벡터 b는 (2 - 1 = 1)i + (3 - 2 = 1)j + (4 - 3 = 1)k 이다.

 

두 벡터 모두 평면 위에 있기 때문에, a와 b를 외적하면 그 평면에 수직한 벡터, 혹은 법선 벡터를 얻을 수 있다.

 

a×b 를 판별식으로 구해보면,

 

(3×1 - 4x1 = -1)i - (2x1 - 4x1 = -2)j + (2x1 - 3x1 = -1)k가 된다.

 

(3) 평면의 법선벡터는 -i + 2j -1k가 된다.

 

이 평면의 방정식은 평면의 법선벡터와 임의의 x, y, z에 대하여 대응하는 임의의 벡터를 내적하면 된다.

 

임의의 점 (x, y, z)와 (3,5,7)을 지나는 벡터는 (x-3)i + (y-5)j + (z-7)k이다.

 

이 벡터와 법선벡터의 내적은 0이므로,

 

(3 - x) + (2y - 10) + (7 - z) = 0 이고,

 

- x + 2y - z = 0 이 된다

 

(4) 파란 평면의 방정식은 - x + 2y - z = 0 이므로,

 

평행한 자홍색 평면의 방정식은 x -2y + z = -d 이다.

 

이제 (5) 두 평면 사이의 실제 거리를 구하면 끝이다.

 

점 (1,2,3)과 평면의 방정식 x - 2y + z = -d를 활용하자.

 

분자는

(1 x 1 = 1) + (-2 x 2 = -4) + (1 x 3 = 3) - d

 

= d 가 되고,

 

분모는 √(1+4+1) = √6이 된다.

 

따라서, -d / √6 = √6 이고

 

d = -6 , |d| = 6 이 된다.

 

점 (1,2,3)이 평면 아래에 있으니 d가 음수가 나온 것이고, 평면 위에 있는 점과 계산을 했다면 d가 양수가 나왔을 것이다.

 

점의 위치와는 상관없이 절댓값은 6이 된다.